SAVJET: Nema jasne granice između osnovne i više razine mature. Ovakvi i slični zadaci mogu se pojaviti i na višoj razini. Zato, dragi maturanti, primite se posla i proučite tehnike razmišljanja ponuđene u rješenjima ovih zadataka. To vam može biti od velike koristi.
ZADATAK 1: Masa vozila bez tereta je 3000 kilograma. Nakon utovara, teret čini 60% ukupne mase. Koliko posto ukupne mase čini teret nakon što je istovarena trećina tereta?
RJEŠENJE: Ovaj zadatak se vrlo lijepo može riješiti grafički. Ako teret čini 60% ukupne mase, onda masa vozila
iznosi preostalih 40% (vozilo s teretom je 100%). Neka je 10% označeno kao jedna crtica. Onda je vozilo 4 crtice, a teret 6 crtica.
Vozilo: __ __ __ __ Teret: __ __ __ __ __ __
Istovarena je jedna trećina tereta. Jedna trećina od 6 crtica su dvije crtice. Kod tereta treba maknuti dvije crtice. Novo stanje je:
Vozilo: __ __ __ __ Teret: __ __ __ __
Sad vozilo i teret imaju jednak broj crtica, što znači da je masa tereta izjednačena s masom vozila,
odnosno teret čini 50% ukupne mase.
NAPOMENA: Primjetite da je zadatak riješen bez upotrebe podatka o masi vozila (3000 kg),
što znači da je on zapravo suvišan.
ZADATAK 2: Cijena kišobrana povećana je 20%, a potom snižena 30% i sada stoji 126 kn. Kolika je bila početna cijena?
RJEŠENJE: Početnu cijenu ćemo označiti sa X. Povećanje cijene 20% znači da je nova cijena jednaka 100%+20%=120% početne cijene.
To je najbolje zapisati kao 1,2X (120% pretvoreno u decimalni oblik je 120:100=1,2). Sad je ta nova cijena, dakle 1,2X, snižena 30%,
odnosno najnovija cijena iznosi 100%-30%=70% cijene 1,2X. (Sad se 100% odnosi na tu novu cijenu kao novi početak.) 70% u decimalnom obliku
je 70:100=0,7. Najnovija cijena je 0,7*1,2X=0,84X.
Ali mi znamo najnoviju cijenu, ona iznosi 126 kn. Postavljamo jednadžbu 0,84X=126, iz koje nakon dijeljenja sa 0,84
slijedi da je X=150. Dakle, početna cijena je bila 150 kn.
Važno je da usvojite ovakav način razmišljanja u kojem svaka nova cijena postaje osnovica (novi početak) za onu iduću cijenu. Ako se cijena povećava,
dodaje se na 100%, a ako se snižava, oduzima se od 100%.
PRIMJER 1: Ako je neka cijena prvo snižena 5%, onda nova cijena povećana 10%, pa najnovija cijena snižena 15%, i na kraju ta zadnja cijena povećana 20%,
onda je konačna cijena 0,95*1,1*0,85*1,2X, gdje je X početna cijena. (100%-5%=95%=0,95, 100%+10%=110%=1,1 itd.)
PRIMJER 2: Ako smo neku cijenu prvo snizili 20%, a potom novu cijenu povećali 20%, da li smo se vratili na početnu cijenu?
Naravno da ne. Uzmimo da je početna cijena bila 100 kn. Sniženje od 20% znači da će nova cijena biti 80 kn. Sad se povećanje od 20% posto odnosi na novu cijenu od 80 kn, a 20% od 80 je
0,2*80=16. Najnovija cijena će biti 80 kn + 16 kn = 96 kn. Skraćeno (po gornjem receptu): 0,8*1,2*100=96.
ZADATAK 3: Tri sestre, Ana, Dijana i Marija, zajedno su sakupile 1500 poštanskih maraka.
1) Ana je sakupila dvostruko više maraka od Dijane, a Dijana trostruko više od Marije. Koliko je maraka sakupila Ana?
RJEŠENJE: Pogledajmo ovaj dio "Ana je sakupila dvostruko više maraka od Dijane".
Zamislimo da Dijana ima jedan paketić maraka. Ana onda ima dva takva paketića.
Dalje stoji da Dijana ima trostruko više od Marije (isto što i Marija ima tri puta manje od Dijane). Budući da Dijana ima jedan paketić,
tri puta manje znači da Marija ima jednu trećinu paketića.
Da bi izbjegli
razlomke, mijenjamo taktiku i uzimamo da Marija (koja ima najmanje) ima jedan paketić. Dijana ima trostruko više,
dakle ona ima tri paketića, a Ana koja ima dvostruko više od Dijane ima 2*3 paketića =
šest paketića.
Ako zbrojimo sve paketiće, Aninih šest, Dijanina tri i Marijin jedan
dobijemo deset paketića. Pošto su one sakupile ukupno 1500 maraka, a to je 10 paketića,
onda se u jednom paketiću nalazi 1500:10=150 maraka.
Traži se koliko Ana
ima, a budući da Ana ima 6 paketića, onda je to 6*150, dakle 900 maraka.
Ako bi umjesto paketića
koristili oznaku X, onda bi Marija imala X maraka (jedan paketić), Dijana 3X maraka (tri paketića)
i Ana 6X maraka (šest paketića). Jednadžba bi izgledala ovako:
X+3X+6X=1500
10X=1500 /:10
X=150
Ana ima 6X=6*150=900 maraka.
2) Sestre su svih 1500 maraka stavile u album koji ima paran broj stranica. Na svakoj neparnoj stranici ima mjesta za 17 maraka, a na svakoj parnoj za 30 maraka. Koliko stranica ima taj album ako im nedostaju još četiri marke da bude popunjen?
RJEŠENJE: Neparna i parna stranica čine jedan list na kojem se nalazi 17+30=47 maraka. Da bi album bio popunjen
nedostaju još 4 marke. Maraka ima 1500, da bi bio popunjen trebali bi imati 1500+4, dakle 1504 marke.
Na svakom listu se nalazi 47 maraka. Treba podijeliti 1504 sa 47 da saznamo koliko je to listova. Dobijemo 32 lista, a
pošto se svaki list sastoji od dvije stranice, to je ukupno 32*2=64 stranice.
ZADATAK 4: U kutiji se nalazi 12 boca ulja. Obujam (volumen) svake boce je 750 mL. Koliko je najmanje potrebno spremnika obujma 1000 L u koje bismo pretočili ulje iz 500 takvih kutija?
RJEŠENJE: Prvo ćemo prebaciti mililitre u litre. Litra ima tisuću mililitara, a budući da
prebacujemo iz manjih jedinica u veće, trebamo 750 podijeliti s 1000. Dakle 750 mL = 0,75 L.
U jednoj kutiji je 12 boca, svaka boca ima obujam 0,75 L, dakle ukupni obujam boca u jednoj
kutiji je 12*0,75=9 L. Ukupni obujam boca u 500 kutija je 500*9=4500 L.
Spremnici su veličine 1000 L, što znači da za 4500 L ulja treba najmanje 5 spremnika.
Mogli smo ići i ovim putem: 500 kutija * 12 boca = 6000 boca, i onda 6000 * 0,75 L = 4500 L.
ZADATAK 5: Mjera jednog kuta četvorokuta iznosi 82°, drugog kuta 114°, a mjere preostalih dvaju kutova odnose se kao 1:2. Kolika je mjera manjeg od tih dvaju kutova?
RJEŠENJE: Koliki je zbroj kutova u četverokutu? Povucite jednu dijagonalu. Na taj način je četvorokut
podijeljen na dva trokuta. Zbroj kutova u trokutu je 180°. Kako imamo dva trokuta, to je 2*180°=360° zbroj
kutova u četverokutu. Ako bi se radilo o peterokutu, onda bi iz jednog vrha povukli dvije dijagonale
s kojima bi peterokut bio podijeljen na tri trokuta, pa bi zbroj kutova u peterokutu bio 3*180°=540°. Ako se radi o šesterokutu
broj trokuta bi bio četiri, odnosno uvijek bi broj trokuta dobivenih povlačenjem svih dijagonala iz jednog vrha
bio za dva manji od broja vrhova, i onda puta 180°.
Kako iskoristiti omjer 1:2? To znači da jedan od ta dva kuta ima jedan dio a drugi dva dijela
(označit ćemo to sa k i 2k).
Dalje je jednostavno. Treba sve kutove zbrojiti i izjednačiti sa 360°:
82°+114°+k+2k=360°
Iz ove jednostavne jednadžbe se dobije k=54,666666...°. Ako se decimalni dio 0,6666... pomnoži sa 60 minuta (koliko ima u jednom stupnju),
dobije se 40 minuta, odnosno k=54°40'. Pošto se traži mjera manjeg od dva nepoznata kuta (manji je k a veći 2k),
onda je 54°40' traženi rezultat.
NAPOMENA: Ovo je standardni način rada s omjerima. Npr. ako je x:y:z=2:3:4, onda je x=2k, y=3k, z=4k.
Ako treba dobitak na lotu koji iznosi 180000 kn podijeliti u tom omjeru, samo se zbroje ti dijelovi (2k+3k+4k=9k),
zbroj se izjednači sa 180000 (9k=180000) iz čega se dobije k=20000. x=2k=2*20000=40000, y=3k=3*20000=60000 i z=4k=4*20000=80000.
Provjera: 40000+60000+80000=180000.
ZADATAK 6: Voda čini 3/5 (tri petine) mase odraslog čovjeka. Koliko je kilograma bjelančevina u tijelu čovjeka mase 60 kg ako je omjer bjelančevina i vode u njegovu tijelu 3:10?
RJEŠENJE: Idemo izračunati koliko je vode u čovjeku mase 60 kg. To ćemo dobiti tako da 3/5 pomnožimo sa 60. 3/5*60 ili 3:5*60 daje 36,
dakle 36 kg vode ima u čovjeku mase 60 kg. Iz omjera 3:10 bjelančevina i vode vidimo da se 10 dijelova odnosi na vodu,
odnosno svaki dio iznosi 3,6 kg (36:10=3,6). Bjelančevine iznose tri takva dijela, dakle 3*3,6=10,8 kg.
Možemo raditi i ovako. Ako sa B označimo bjelančevine, a sa V vodu, imamo B:V=3:10. Iz toga slijedi B=3k, V=10k.
Vode ima 36 kg, dakle 10k=36, odnosno k=3,6. B=3k=3*3,6=10,8. Bjelančevina ima 10,8 kg.
ZADATAK 7: Zbroj broja i njegove polovice za tri je manji od dvostruke vrijednosti broja. Koji je to broj?
RJEŠENJE: Ako taj broj označimo sa X, onda je njegova polovica X/2, a dvostruka vrijednost je 2X. Jednadžba glasi:
X+X/2=2X-3 /*2 (pomnožimo s dva da se riješimo razlomka)
2X+X=4X-6
iz čega se lako dobije da je X=6.
ZADATAK 8: Otac je star 52 godine, a njegovi sinovi 24 i 18 godina. Za koliko će godina otac biti star koliko oba njegova sina zajedno?
RJEŠENJE: Traži se za koliko godina i to ćemo označiti sa X. Za X godina otac će imati 52+X, a sinovi
24+X i 18+X godina. Tad će otac biti star koliko oba sina zajedno. Stavljeno u jednadžbu to izgleda ovako:
52+X=(24+X)+(18+X) (zagrade se mogu izostaviti jer je ispred njih +)
Iz ove jednadžbe se lako dobije da je X=10. Nakon 10 godina će otac biti star koliko oba njegova sina zajedno
(otac će imati 62, a sinovi 34 i 28 godina, 62=34+28).
ZADATAK 9: U putničkom zrakoplovu ima 108 mjesta. Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno. Koliko je putnika u zrakoplovu?
RJEŠENJE: Ovdje je najbolje zamisliti da su sjedišta grupirana u "trosjede". Na trosjedu su dva mjesta popunjena, a jedno je slobodno. Koliko imamo takvih trosjeda? Treba podijeliti ukupan broj sjedišta s tri. 108:3=36, imamo 36 trosjeda, na svakom sjede 2 putnika, što znači da ima 36*2=72 putnika.
ZADATAK 10: U miješanome je voćnom soku omjer količina soka jabuke i soka naranče 1:4, a omjer količina soka limuna i soka naranče 2:5. Koji je omjer količina soka jabuke i soka limuna?
RJEŠENJE: Ovaj zadatak na prvi pogled izgleda komplicirano, ali se može
jednostavno riješiti. Količine soka jabuke, naranče i limuna ćemo redom označiti
sa J, N i L. Imamo J:N=1:4 i L:N=2:5. Ovaj drugi omjer ćemo okrenuti, dakle N:L=5:2.
Idemo ponovno napisati gornje omjere, ali sa okrenutim drugim omjerom:
J:N=1:4 i N:L=5:2
Zahvaljujući okretanju drugog omjera dobili smo ulančanost lijevih strana omjera (prvi omjer završava sa istim slovom s
kojim počinje drugi omjer). To omogućava da lijeve strane napišemo kao jedan omjer J:N:L.
Brojevi nisu ulančani jer prvi omjer završava sa 4, a drugi počinje sa 5. Ulančanost ćemo postići tako da gledamo
što je najmanji zajednički "nazivnik" (kaže se višekratnik) za brojeve 4 i 5. To je 20. Prvi omjer ćemo
pomnožiti s 5 (20:4), a drugi s 4 (20:5), pa će 1:4 postati 5:20 a 5:2 će biti 20:8. Sad imamo:
J:N=5:20 i N:L=20:8
Zbog ulančanosti i slova i brojeva to ćemo zapisati ovako:
J:N:L=5:20:8
Traži se omjer količina soka jabuke i soka limuna, odnosno J:L. Treba samo iz gornjeg omjera "izbiti" sredinu,
slovo N i broj 20 i ostaje
J:L=5:8, što je traženi rezultat.
NAPOMENA: Da se dobilo npr. 6:8, onda bi to podijelili s dva, pa bi konačno rješenje zapisali
J:L=3:4.
Zona Ozona : Mateja, zamisli da djevojke i mladiće stavljamo u nekakve "pakete". Jedan paket bi išao na mladiće, a tri na djevojke (jer ih je tri puta više). Ukupno imaš četiri paketa. Ako 216 podijeliš sa 4 dobiješ da su u jednom paketu 54 maturanta. Djevojaka je 3*54=162, a mladića 1*54=54. Od broja djevojaka oduzmeš broj mladića, 162-54=108 i to je rezultat. Ovo je bilo logički. Matematički, to bi išlo ovako: M=x D=3x M+D=216, dakle x+3x=216, 4x=216, x=54 M=54, D=3*54=162, D-M=162-54=108. (Obzirom da djevojaka ima dva paketa ili 2x više od mladića, najbrži put do rješenja bi bio da 2 pomnožiš sa 54, što daje 108 - dakle bez računanja broja djevojaka i mladića.) 17.05.2015
Marko Fistrovic : Kolika je udaljenost točaka K (-2, 3) i L (5, 1) u koordinatnome sustavu? 27.05.2015
Zona Ozona : Marko, za to postoji jednostavna formula. Koordinate točke K su x1 i y1, a od L su x2 i y2. Dakle x1=-2, y1=3, x2=5, y2=1. Formula je d(K,L)= korijen od (x2-x1)na drugu + (y2-y1)na drugu (ovdje je kraj korijena). Kad se uvrste brojevi, dobije se d(K,L)= korijen iz (5-(-2))na drugu + (1-3)na drugu (kraj korijena). Prva zagrada postaje (5+2)na drugu = 7na drugu = 7*7=49. Druga zagrada postaje (-2)na drugu = (-2)*(-2) = 4. Dakle, pod korijenom imaš 49+4, odnosno konačno rješenje je korijen iz 53 (zaokruženo na dvije decimale 7,28). Isto rješenje bi dobio da si uzeo koordinate od L za x1, y1 a od K za x2, y2 (poredak nije bitan). Kad pišem x1, ova jedinica je ona sitna, napisana malo ispod x. 27.05.2015
Tihana : Što je rezultat sređivanja izraza a(a-1)(a+2)? 20.08.2015
Zona Ozona : Tihana, najbolja taktika je da pomnožiš ove dvije zagrade (svaki sa svakim), a ovaj prednji 'a' prepišeš. Dakle, a(a-1)(a+2)=a(a2+2a-a-2). Ovo 'a2' je a na drugu (ili a na kvadrat) i dobili smo ga množenjem a sa a (a na prvu puta a na prvu - eksponenti se zbrajaju). U novoj zagradi možemo 2a-a zbrojiti (to se tako kaže jer se zbraja '2a' i '-a'), dakle 2a-a=a. Dobivamo a(a2+a-2). Sad ovaj prednji 'a' pomnožiš sa svakim članom zagrade i dobivaš a3+a2-2a (a na treću + a na drugu -2) ( 'a na treću' zato što je prednji a zapravo a na prvu, a 'a na prvu' puta 'a na drugu' daje 'a na treću'). Kod množenja svaki sa svakim predznak svakog člana zagrade nalazi se ispred njega (ako ništa ne piše onda je predznak plus). Nadam se da ti je jasno. Ovo nije jedini način. Mogla si prvo prednji 'a' pomnožiti npr. s prvom zagradom (dobila bi 'a na drugu' - a). To bi izgledalo ovako: a(a-1)(a+2)=(a2-a)(a+2). Ovo je kompliciraniji način jer je ove dvije zagrade malo teže pomnožiti nego (a-1)(a+2). 25.08.2015
Amle : Odredi centralne uglove nad lukovima čiji je omjer dužina 2:3:4. 10.09.2015
Zona Ozona : Amle, ovaj omjer znači da prvi luk ima dužinu koja je sastavljena iz dva dijela, drugi luk od tri takva ista dijela i treći luk od četiri dijela. Dakle, imaš ukupno 9 takvih dijelova (2+3+4). Ti dijelovi pokrivaju cijelu kružnicu, tako da svakom dijelu pripada 40 stepeni (360:9). Prvom luku pripada centralni ugao od 2*40=80 stepeni, drugom 3*40=120 stepeni i trećem 4*40=160 stepeni. Ako te centralne uglove označimo sa x, y i z, onda to možemo ovako riješiti: x:y:z=2:3:4. x=2k, y=3k, z=4k. x+y+z=360, 2k+3k+4k=360, 9k=360, k=40. x=2*40=80, y=3*40=120, z=4*40=160. 11.09.2015
bimbo : koliko je 0,2 % od 60 kg 14.12.2015
Zona Ozona : Bimbo, znak % se pretvara u dijeljenje sa 100 a "od" se pretvara u množenje. 0,2 % od 60 = 0,2 / 100 * 60 = 0,12. 15.12.2015
Andjela Mitic : 24000x70% 02.02.2016
Zona Ozona : Anđela, 70% = 70 / 100 = 0,7. Dakle, ovo što si napisala nije ništa drugo nego 24000 * 0,7 = 16800. (Izračunali smo 70% od 24000.) 02.02.2016
Milica : Sljive susenjem gube 40% svoje mase.Koliko se dobije suvih sljiva od 8kg svezih? 08.02.2016
Zona Ozona : Milice, ako se sušenjem gubi 40% mase, onda ono što ostane čini 60% mase (100% - 40%). Treba izračunati 60% od 8, a to je 60/100 * 8 ili 0,6*8 = 4,8. Dakle, dobije se 4,8 kg suvih šljiva. Drugi način je bio da izračunaš ono što se gubi, a to je 40% od 8 kg, i onda to oduzmeš od 8 kg. (8 - 3,2 = 4,8) 08.02.2016
dino : kako izračunati koliko je tri petine od 60 kilogram. Zanima me postupak za djete 5-og razreda 14.03.2016
Zona Ozona : Dino, petine dobivamo kad nešto podijelimo na pet jednakih dijelova. Tri petine bi bila tri takva dijela. Da bismo izračunali tri petine od 60 kg, moramo prvo izračunati kolika je jedna petina od 60 kg a onda dobiveni rezultat pomnožliti s 3. Znači, trebamo 60 podijeliti na pet jednakih dijelova, i onda uzeti tri takva dijela. 60 podijeljeno s 5 je 12. 3 puta 12 je 36 i to je to. Nadam se da je ovo dovoljno jasno. 14.03.2016
Lucija : Ako bi Marija kupila 1 slikovnicu ostalo bi joj 10 kyna, ako bi htjela kupiti 3 slikovnicu, nedostajalo bi joj 30kn. Koliko story 1 slikovnica i koliko kuna ima Marija? 21.04.2016
Zona Ozona : Lucija, ovaj zadatak se može riješiti potpuno logički. Za 3 slikovnice joj fali 30 kn, a sa jednom ima 10 kn viška. Tih 10 kn viška i ovih 30 kn što joj fali zajedno predstavljaju iznos koji bi morala platiti za dvije slikovnice razlike (3-1). Dakle dvije slikovnice koštaju 40 kn, odnosno jedna košta 20 kn. Na tih 20 kn dodaš 10 kn viška i to je iznos koji Marija ima (30 kn). Matematički, do rješenja bi se došlo preko jednadžbe x + 10 = 3x - 30 (x je cijena jedne slikovnice). Marija ima x+10 ili 3x-30 kuna (to je isti iznos pa se može napisati gornja jednadžba). Nepoznanice na jednu, poznanice na drugu stranu jednadžbe => -2x = -40 i nakon dijeljenja s -2 => x = 20. Marija ima x + 10 = 20 + 10 = 30 (može i 3x - 30 = 3 * 20 - 30 = 60 - 30 = 30) kuna. 21.04.2016
ZADATAK 1: Cijena suknje iznosila je 173 kn. Trgovac je odlučio sniziti cijenu suknje 20%, no nije ju uspio prodati pa je odlučio sniziti već sniženu cijenu još 10%. Koliko iznosi cijena suknje nakon tih sniženja?
RJEŠENJE: Cijena suknje nakon tih sniženja iznosi 173*0,8*0,9=124,56 kn. (Pogledajte rješenje drugog zadatka osnovne razine. Ovdje je X poznat = 173 kn.)
ZADATAK 2: Što je ortogonalna projekcija pravca na ravninu ako je pravac okomit na tu ravninu?
RJEŠENJE: Ortogonalnu projekciju možemo shvatiti kao sjenu, pri čemu zrake svjetlosti padaju okomito na podlogu na kojoj je sjena. Ako se postavite tako da zrake svjetlosti iz kosa padaju na vas dok uspravno stojite, pojavit će se sjena na podlozi. Ako stanete točno ispod izvora svjetlosti sjena će nestati. To je naš slučaj, pravac se podudara sa zrakom svjetlosti a sjena pretvara u točku.
ZADATAK 3: Napišite neki prirodni broj koji je veći od 2014 i koji pri dijeljenju s 11 daje ostatak 10.
RJEŠENJE: Prvi koji mi je pao na pamet (da je veći od 2014) je 2014*11+10=22164. Što ako se traži prvi veći broj od 2014 koji pri dijeljenju s 11 daje ostatak 10? 2014 bi podijelili s 11 (rezultat 183,0909...). Traženi broj bi bio ili 183*11+10, ili 184*11+10 (u slučaju da prvi broj nije veći od 2014).
ZADATAK 4: Odredite f(7x) ako je f(x+2)=5x-1.
RJEŠENJE: Prvo moramo odrediti f(x). Postupak je slijedeći: x+2=t, x=t-2. Sad f(x+2)=5x-1 prelazi u f(t)=5(t-2)-1=5t-10-1=5t-11. Uobičajan način pisanja je f(x), pa ćemo umjesto f(t)=5t-11 pisati f(x)=5x-11. Da bismo dobili f(7x) moramo x zamijeniti sa 7x na svim mjestima na kojima se u izrazu f(x)=5x-11 pojavljuje x. Dobivamo: f(7x)=5*7x-11, odnosno f(x)=35x-11.
ZADATAK 5: Omjer duljina dviju dužina bio je 2:5. Svaka dužina skraćena je za 1,6 cm te je omjer skraćenih dužina 2:7. Kolika je bila razlika njihovih duljina prije skraćivanja?
RJEŠENJE: Označimo duljine tih dužina sa x i y. Nakon skraćivanja njihove duljine će biti x-1,6 i y-1,6. Imamo x:y=2:5 i (x-1,6):(y-1,6)=2:7. To su dvije jednadžbe s dvije nepoznanice. Umnožak vanjskih članova omjera jednak je umnošku unutarnjih, tako da imamo 5x=2y i 7(x-1,6)=2(y-1,6). Oslobodimo se zagrada u drugoj jednadžbi. Dobivamo 7x-11,2=2y-3,2. Ako 2y zamijenimo sa 5x (prva jednadžba) dobivamo: 7x-11,2=5x-3,2. Iz ovog slijedi x=4, a iz 5x=2y, odnosno 2y=20 slijedi y=10. Razlika njihovih duljina prije skraćivanja je y-x, a to je 6 cm.
ZADATAK 6: Koliki je umnožak rješenja jednadžbe |2x-3|=|3x+5|?
RJEŠENJE: Logički, da bi dvije apsolutne vrijednosti bile jednake, unutra moraju biti ili isti brojevi, ili suprotni brojevi. Ako su jednaki, onda je 2x-3=3x+5. Ako su suprotni, onda je 2x-3=-(3x+5). Rješenja tih jednadžbi su x=-8 i x=-2/5. Umnožak rješenja je -8*(-2/5)=16/5.
ZADATAK 7: Mljekar od dnevne proizvodnje mlijeka 3/4 proda, 24% preradi u sir, a 3 litre mlijeka mu ostane. Kolika je dnevna proizvodnja mlijeka?
RJEŠENJE: Dnevna proizvodnja mlijeka (označimo sa X) dijeli se na
prodani dio (3/4 X), dio prerađen u sir (24% od X, odnosno 24/100 X) i ostatak (3 litre). Pretvoreno u jednadžbu to izgleda ovako:
3/4 X + 24/100 X + 3 = X (množimo sa sto)
75 X + 24 X + 300 = 100 X
iz čega slijedi X=300, odnosno dnevna proizvodnja mlijeka iznosi 300 L.
ZADATAK 8: Autobus je od jednog grada do drugog i natrag vozio 6 sati i 12 minuta. Prosječna brzina u jednom smjeru bila mu je 80 km/h, a u drugom 75 km/h. Koliki je put autobus prešao? (Prosječna brzina je omjer prijeđenog puta i vremena.)
RJEŠENJE: Zbog brzina koje su izražene u kilometrima na sat, ukupno vrijeme treba prebaciti u sate: 6 sati i 12 minuta = (6 + 12/60) sati = 6,2 sati.
Označimo s t vrijeme u jednom smjeru (brzina 80 km/h). Onda je vrijeme u drugom smjeru 6,2-t.
Pređeni put se računa tako da se prosječna brzina pomnoži s vremenom (s=v*t). Put u jednom smjeru
iznosi 80t, a u drugom 75(6,2-t). To su isti putovi, pa vrijedi 80t=75(6,2-t), odnosno
80t=465-75t iz čega slijedi t=3.
Put u jednom smjeru iznosi 80*3=240, a u oba smjera 240*2, odnosno 480 km.
Zadatak se mogao postaviti i kao sustav (x i y su vremena potrebna za jedan, odnosno drugi smjer):
x + y = 6,2
80 x = 75 y
Ako iz prve jednadžbe izrazimo y (y=6,2-x) i uvrstimo u drugu dobivamo već viđenu jednadžbu 80x=75(6,2-x) čije rješenje je x=3. Put u jednom
smjeru je 80x=80*3=240, a u oba 240*2=480 km.
ZADATAK 9: Morska voda sadrži 0,4% soli. Koliko litara vode treba ispariti da od 900 litara morske vode ostane otopina od 1% soli?
RJEŠENJE: Ovdje se moramo zakačiti za ono što se ne mijenja, a to je količina soli u otopinama.
Količinu soli možemo izračunati iz prve otopine: 0,4% od 900 = 0,004 * 900 = 3,6.
U novoj otopini tih 3,6 litara soli predstavlja 1% otopine. Količinu otopine x dobivamo iz
jednadžbe 1% od x = 3,6, odnosno 0,01x=3,6. Iz ovog slijedi x=360. Količina nova otopine je 360 litara.
Na početku je bilo 900 litara otopine, a sad je 360 litara. Razliku od 540 litara čini voda koja je isparila.
ZADATAK 10: Autobus vozi prosječno 28 km/h brže od kamiona. Da bi prešao
put od 600 km, autobusu treba 2 sata i 20 minuta manje nego kamionu.
Kolika je prosječna brzina autobusa? (Prosječna brzina je omjer prijeđenog
puta i vremena.)
RJEŠENJE: Kao u prethodnom zadatku, i ovdje se moramo zakačiti za ono što se ne mijenja, a to je prijeđeni put
koji je isti i za autobus i za kamion. Neka su v i t prosječna brzina kamiona u km/h i vrijeme u satima
potrebno da kamion prijeđe put od 600 km. Množenjem prosječne brzine s
vremenom dobiva se prijeđeni put, dakle vt=600.
Autobus vozi prosječno 28 km/h brže od kamiona, pa je njegova prosječna brzina
v+28 km/h. Za isti put treba mu 2 sata i 20 minuta manje nego kamionu. 20 min je 20/60 sata,
odnosno 1/3 sata. 2+1/3=7/3, dakle vrijeme potrebno autobusu da prijeđe isti put iznosi t-7/3 sati.
Jednažba puta u ovom slučaju glasi (v+28)(t-7/3)=600.
Vrijedi vt=(v+28)(t-7/3). Nakon množenja zagrada dobiva se vt=vt-7/3v+28t-196/3.
vt se pokrati, jednadžba pomnoži s 3 i v prebaci na lijevu stranu. Slijedi
7v=84t-196, odnosno nakon dijeljenja sa sedam v=12t-28. Iz vt=600, zamjenom v sa 12t-28
dobiva se t(12t-28)=600. Sređivanjem se dobiva kvadratna jednadžba s rješenjima 25/3 i -6. Vrijeme
ne može biti negativno, tako da ostaje rješenje t=25/3. Taj rezultat se ubaci u v=12t-28 iz čega se dobije v=72.
Prosječna brzina kamiona je 72 km/h. Autobus je 28 km/h brži pa je njegova prosječna brzina 100 km/h.
Zona Ozona : Dino, to je lagan zadatak. Ako tetive povučeš na razne strane obzirom na centar, onda ugao koji zatvaraju te tetive sadrži centar, a ako su tetive s iste strane centra, onda je centar izvan ugla kojeg zatvaraju tetive. Trebaš centar spojiti s krajevima tetiva. Na taj način dobijaš dva jednakokračna trokuta. Centralni uglovi su nasuprot tetiva koje predstavljaju osnovice tih trokuta. Da bi dobili uglove na osnovici, trebamo od 180 oduzeti 120, odnosno 80 i rezultate podijeliti s dva. Dobijaš uglove od 30, odnosno 50 stupnjeva. U slučaju a) ti se uglovi sabiraju, a u slučaju b) od većeg se oduzme manji ugao, tako da dobijaš 80, odnosno 20 stupnjeva. Slika ti sve govori. Ako nešto ne bude jasno, napiši mi pa ćemo to još malo pojasniti. 22.09.2015
Mario : Ako je cos x=0.6 i xe {3pi/2, 2pi}, koliko je cos(x-pi/3)? 25.09.2015
Zona Ozona : Mario, najbolje je da kreneš od onog što se traži. cos(x-pi/3) = cos(x)cos(pi/3)+sin(x)sin(pi/3). (Koristio sam adicijsku formulu cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y).) Primjeti da su od četiri stvari tri poznate: cos(x)=0.6=3/5, cos(pi/3)=1/2 i sin(pi/3)=(korijen iz 3)/2. Trebaš samo naći sin(x). sin na drugu (x) = 1 - cos na drugu (x) = 1 - (3/5)na drugu = 1 - 9/25 = 16/25. sin(x) = plus ili minus korijen iz 16/25. Predznak se odredi iz kvadranta. Ovdje se radi o četvrtom kvadrantu u kojem je sinus negativan, pa za predznak uzimaš minus. Dakle sin(x) = -4/5. Sad imaš podatak koji je nedostajao. Nakon uvrštavanja u adicijsku i sređivanja dobivaš konačni rezultat (3-4korijena iz 3)/10. Radi bolje preglednosti stavljao sam zagrade i na mjestima na kojima se inače ne pišu. 25.09.2015
Mario : Kako izračunati imaginarno 'i' na 2015? 14.10.2015
Zona Ozona : Mario, trebaš 2015 podijeliti s 4, ali na način kako se to radilo u prva četiri razreda osnovne škole, s ostatkom. Isti ostatak ćeš dobiti ako broj kojeg čine zadnje dvije znamenke podijeliš s 4. To možeš uvijek raditi kod ovakvih zadataka. U našem slučaju taj broj je 15 i on pri dijeljenju s 4 daje rezultat 3 i ostatak 3 (3*4+3=15). Ostatak je važan. Mogući ostaci pri dijeljenju s 4 su 0, 1, 2 i 3 (nula ako je broj djeljiv s 4). 'i na nultu' = 1, 'i na prvu' = i, 'i na drugu' = -1, 'i na treću' = -i. U našem slučaju ostatak je 3, pa gledamo 'i na treću'. Dakle 'i na 2015' = 'i na treću' = -i. Npr. 'i na 5872684' = 'i na nultu' = 1 (84 : 4 = 21, ostatak nula). 'i na 102' = 'i na drugu' = -1 (02 = 2, 2 : 4 = 0, ostatak 2). 14.10.2015
Ivana : 100:0 23.11.2015
Zona Ozona : Ivana, vjerujem da znaš da se s nulom ne može dijeliti. Matematički razlog je vrlo jednostavan. 6 : 2 = 3 => 3 * 2 = 6. Zamislimo da je 100 : 0 neki broj. U provjeri taj broj puta nula ne bi dao sto, što bi značilo da rezultat dijeljenja nije dobar. Čak ni 0 : 0 nije dobro, jer tu imamo drugi problem. S pozicije provjere, tu bi svaki broj kao rezultat bio dobar, jer bilo koji broj puta nula daje nulu. Kod svih "normalnih" dijeljenja imamo samo jedan rezultat, a kod dijeljenja s nulom ili nemamo rezultat (kao kod 100 : 0), ili imamo beskonačno mnogo dobrih rezultata (kao kod 0 : 0). Zato se s nulom ne dijeli. Obrnuto funkcionira: 0 : 100 = 0 jer je 0 * 100 = 0 i to je jedini rezultat koji prolazi provjeru. Mogli bi i filozofski razmišljati zašto nije logično dijeliti s nulom. Ako imaš darove koje želiš podijeliti, a nemaš ih kome podijeliti, onda to nema smisla. 23.11.2015
Ady : Postavio nam profesor matematike ovaj zadatak bez objasnjenja pomoc molim!? "Napisati produzenu proporciju iz zadanih proporcija: a:b=2:3 b:c=3:4 c:d=8:9" 24.12.2015
Zona Ozona : Ady, prvu i drugu proporciju pomnožiš s dva. Dobiješ a:b=4:6 i b:c=6:8. Sad možeš napisati produženu proporciju: a:b:c:d=4:6:8:9. U zadatku 10 matura - osnovna razina objasnio sam detaljno postupak kod ovakvih zadataka, pa bih te molio da to proučiš. 24.12.2015
Danica : Pozz! Zadatak koji mi zadaje probleme je vezan za imaginarne brojeve stoga vas molim da mi pomognete. Zadatak glasi izracunaj:i + i2(i na drugu...) + i3 + i4 +.......+ i50 = i * i2 * i3 * i4 * ....... * i50= i231= i1999= Hvala :D 22.01.2016
Danica : Izvinjavam se bila sam nespretna pri postavljanju zadataka, i + i "na drugu"+ i"na trecu"+ i "na cetvrtu"....i"na 50"= , zatim isti zad. samo sa mnozenjem te , i"na 231"= , te i"na 1999" , Hvala :D 22.01.2016
Zona Ozona : Danice, prvo pogledaj kako sam riješio zadatak od Maria: Kako izračunati imaginarno 'i' na 2015? (datum 14.10.2015). i1=i, i2=-1, i3=-i, i4=1. Dalje se ponavlja ista shema: i5=i, i6=-1, i7=-i, i8=1 i tako dalje na isti način. Moglo bi se reći da imamo pakete od četiri člana (i, -1, -i, 1) koji se ponavljaju. Ako zbrojimo članove unutar paketa dobivamo: i+(-1)+(-i)+1=i-1-i+1=0. Postavlja se pitanje koliko ima ovakvih paketa ako idemo do "i na 50"? Imamo ih 12 (12*4=48). Svaki takav paket daje u zbroju nula, 12*0=0, tako da je zbroj od i1 do i48 jednak nuli. Ostalo je još da izračunamo ono što je ostalo, a to je i49+i50. "i49" i "i50" odgovaraju redom vrijednostima prva dva člana u paketu, a to su "i" i "-1". Dakle i49+i50=i-1=-1+i i to je rezultat. Kod množenja je ista stvar, samo će se elementi unutar paketa umjesto zbrajanja množiti. Tako je vrijednost jednog paketa i*(-1)*(-i)*1=-i*(-i)=i2=-1. Isto imamo 12 paketa, ali se ovog puta vrijednosti paketa ne zbrajaju, već se množe (-1)*(-1)*...*(-1)=(-1) na dvanaestu što daje 1 (paran broj minusa daje plus). Sad još moramo izračunati i49*i50=i*(-1)=-i. Prije toga smo imali rezultat 1 (od i1 do i 48) koji se množi sa (-i), tako da je konačni rezultat 1*(-i)=-i. "i231" i "i1999" računaš na način kako sam to objasnio za "i2015" (Mario). i231=i31=i3=-i. i1999=i99=i3=-i. 22.01.2016
jakov : Zrakoplov se pri uzlijetanju otisne brzinom od 315 km/h pod kutom od 22° prema ravnini piste. Na kojoj se visini, izraženoj u metrima, zrakoplov nalazi nakon 8 s? 26.02.2016
Zona Ozona : Jakove, prvo ćemo 315 km/h pretvoriti u m/s. 315 km/h = 315 * 1000/3600 m/s = 87,5 m/s. Za 8 s zrakoplov je prevalio put od 8 s * 87,5 m/s = 700 m. Nadam se da vidiš da tu postoji pravokutan trokut i da zrakoplov uzlijeće upravo po hipotenuzi tog trokuta koja s katetom koja leži u ravnini piste zatvara kut od 22°. Hipotenuza je duga 700 m, a duljina katete okomite na pistu (sa zrakoplovom na jednom kraju) predstavlja traženu visinu. Tu na scenu stupa trigonometrija pravokutnog trokuta jer je omjer katete koja predstavlja visinu i hipotenuze jednak sinusu kuta od 22° (nasuprotna kateta kroz hipotenuza). Dakle, x / 700 = sin 22° iz čega dobivamo x = 700 * sin 22°. Tražena visina iznosi 262,22 m (zaokruženo na dvije decimale). 27.02.2016
Sara : Pozz! Za koje vrijednosti parametra m su sljedece funkcije pozitivne za svako x. Funkcija glasi: y= (m+1)x^2 - 2(m+3)x + m + 5. Ja sam radila ovako: a=m+1 , b=-2(m+3) , c=m+5. D>0. b^2- 4ac>0.Zatim sam uvrstila brojeve u ovu gore formulu te dobila rezultat gdje mi se m ponisti odnosno 4m^2+24m+36-4m^2-20m-4m-20>0, 16>0 Pa sam izvadila korijen iz 16, nisam sigurna sta dalhe u skoli smobradili slican primjer ali se m ne izgubi tj ponisti. 13.03.2016
Zona Ozona : Sara, da bi kvadratna funkcija bila pozitivna za svaki x moraju biti ispunjena dva uvjeta: a>0 i D<0. Ta dva uvjeta garantiraju da se cijeli graf funkcije nalazi iznad x-osi, odnosno da je funkcija pozitivna za svaki x (a>0 grafu daje oblik slova "u", a D<0 znači da graf nigdje ne siječe ili dodiruje x-os). Kod nas je D=16 pa uvjet D<0 nije ispunjen ni za jedan m. To znači da je m element praznog skupa i to je traženi odgovor. (Naš graf x-os siječe na dva mjesta, tako da se jedan dio grafa nalazi ispod x-osi a drugi iznad, odnosno postoje x-evi za koje je funkcija i negativna.) 14.03.2016
Zona Ozona : Marija, ovo s brojevima A i B je treći zadatak koji se rješava kao sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice. Jednadžbe su 0,3A=0,2B+10, 0,3B=0,2A+35. Nakon množenja i jedne i druge jednadžbe s 10 dobije se 3A=2B+100, 3B=2A+350. Konačno rješenje je A=200, B=250. 20.03.2017
Zona Ozona : Marija, neka je x broj djece, y broj oraha. Iz priče se dobiju jednadžbe y=9x+1, y=10x-2, iz čega slijedi 10x-2=9x+1. Iz ovog se lako dobije x=3 i nakon uvrštavanja u jednu od gornje dvije jednadžbe y=28. Dakle, oraha je 28, a djece troje. 20.03.2017
Zona Ozona : Marija, za ovaj zadatak s linearnom funkcijom postoji formula "jednadžba pravca kroz dvije točke". Tu formulu mi nije zgodno zapisati, pa ću ti pokazati drugi način rješavanja. Kreneš od jednadžbe pravca y=ax+b. Sad se umjesto x i y uvrste koordinate točaka M i N, prvo jedne pa onda i druge. Dobije se sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice: 1=a*(-2)+b, 4=a*1+b, ili nakon sređivanja -2a+b=1, a+b=4. Ovo se lako riješi metodom suprotnih koeficijenata ili metodom supstitucije. Dobije se a=1, b=3. Uvrstimo a i b u y=ax+b i dobijemo konačno rješenje y=x+3. 20.03.2017
Zona Ozona : Sunita, neka je a osnovica, a b krak. Iz omjera b:a=5:6 slijedi da je a=6k, b=5k gdje je k proizvoljan pozitivan realan broj. Opseg jednakokračnog trokuta je zbroj duljina njegovih stranica, osnovice i dva jednaka kraka, što se zapisuje formulom O=a+2b. Kad u tu formulu ubacimo podatke, dobijemo 80=6k+2*5k, odnosno 80=16k, iz čega slijedi k=5. a=6k=6*5=30, b=5k=5*5=25. Dakle, osnovica je duga 30 cm, a krak 25 cm. 20.03.2017
Marija : 1.Ako bi majka dala svakom dijetetu po 9 oraha,ostao bi joj 1 orah .Ako bi svakom djetetu dala po 10 oraha nedostajala bi joj dva oraha .Koliko majka ima djece ,a koliko oraha? 2.Poznato je da je 30% broja A za 10 veće od 20% broja B , za 30% broja B je za 35 veće od 20 % broja A.Izracunaj brojeve A i B. Molim vas ako može za sutra unaprijed hvala 20.03.2017
Zona Ozona : Sunita, Marija, sad sam vidio vaše zadatke, ali tek sutra ih mogu riješiti, jer sutra jako rano ustajem i moram odmah na spavanje. Strpite se. 19.03.2017
Marija : Odredi linearnu funkciju ako tačke M(-2;1) i N(1;4) pripadaju njenom grafiku 19.03.2017
Basic Sunita : krak jednakokrakog trougla je u razmjeri prema osnovici kao 5:6 odredi stranice tog trougla je ako mu je obim 80 cm molim vas ako mozete da mi pomognete unapred hvala 19.03.2017
Zona Ozona : Sunita, iz ove jednadžbe treba izraziti x ili y. Idemo izraziti x: 5x = 3y + 8, podijelimo s 5, x= 3/5 * y + 8/5. Parovi (x, y) za koje je zadana formula točna sad se mogu napisati u obliku (3/5 * y + 8/5, y) pri čemu je y proizvoljan realan broj. Na taj način su zapisani svi mogući parovi realnih brojeva za koje je zadana formula točna. Ako želimo dobiti neku konkretnu vrijednost, uzmemo bilo koji broj i uvrstimo ga umjesto y. Npr, za y = 4 x se dobije uvrštavanjem četvorke umjesto y u izraz 3/5 * y + 8/5. Dakle 3/5 * 4 + 8/5 = 12/5 + 8/5 = 20/5 = 4. Za npr. y = 9 dobije se na isti način x = 7. Za y = -1 dobije se x = 1. Od beskonačno mnogo parova dobili smo 3 konkretna para: (4, 4), (7, 9) i (1, -1). Potpuno rješenje je onaj gore napisani par s y, uz obaveznu napomenu da je y proizvoljan realan broj. 19.02.2017
sunita : zadana je linearna jednacina 5x-3y=8 odredi parove realni vrednosti promjenjivi x y za koje je zadana formula tacna ?ako moze cjeli postupak rada posto mi zadatak nije jasan . 18.02.2017
Zona Ozona : Ena, treba riješiti jednadžbu x/8 + 47 = 52. Kad se 47 prebaci na desnu stranu dobije se x/8 = 5. Pomnožiš s 8. Rezultat: x = 40. To je traženi broj. 16.02.2017
Zona Ozona : Marta, lako. Jednu će dobiti djed, drugu sin od djeda (otac od unuka), a treću unuk. Dakle, srednji je istovremeno i otac i sin, pa imamo 3 osobe među kojima su dva oca i dva sina. 16.02.2017
Zona Ozona : Azra, razreži kolač na 10 jednakih dijelova i pojedi pet dijelova. Koliko je ostalo kolača? Odgovor: ostalo je pola kolača. Gdje je druga polovica? Odgovor: drugu polovicu si ti pojela. Znači, 5 od 10 je isto što i 1 od 2. Podijeli 1 s 2 i 5 s 10 i oba puta ćeš dobiti rezultat 0,5. Ako skratiš razlomak 5/10 s 5 (brojnik i nazivnik podijeliš s 5) dobit ćeš 1/2. 16.02.2017
ena : ako neki broj umanjimo 8 puta i dodamo mu 47 dobit broj 52 koji je to broj 15.02.2017
Marta : Kako bi podijelila 3 jabuke na 2 oca i 2 sina,a da svaki dobije po jednu cijelu jabuku? 15.02.2017
Azra : Mozete li mi objasniti kako 5/10 moze biti 1/2,razlomci su to 15.02.2017
Zona Ozona : Nanuška, a) 3x+1>2x, 3x-2x>-1, x>-1 b) 3x>=4x, 3x-4x>=0, -x>=0. Ovo zadnje pomnožiš s -1. Dobije se x manje ili jednako 0. Moraš znati da se znak nejednakosti okreće kad se nejednadžba pomnoži ili podjeli s negativnim brojem. (Oznaku >= sam koristio umjesto "veće ili jednako"). Što se tiče drugog zadatka, ispod imaš Kanitin zadatak koji sad, kako si ga ti napisala, ima smisla. Treba u postupku samo umjesto znaka = pisati znak >. Na kraju će umjesto x = 25/2 biti x > 25/2. Najmanji cijeli broj koji je veći od 25/2 ili 12,5 je 13 i to je rješenje zadatka. 13.02.2017
Nanuška : Odredi najmanju cjelobrojnu vrijednost x za koju izraz 5x-10 ima vrijednost veće od vrijednosti izraza 3x+15 13.02.2017
Nanuška : Za koje vrijednost x je:a)3x +1 veće od 2x. b) 3x veće i jednako od 4x 13.02.2017
Zona Ozona : Matija, mislim da se radi o broju dijagonala koje se mogu povući iz jednog vrha mnogokuta sa n vrhova (dn=n-3), zatim o ukupnom broju dijagonala koje se mogu povući u nekom mnogokutu (Dn=n(n-3)/2), a alfa n bi možda mogla biti veličina unutarnjeg kuta pravilnog mnogokuta (svi kutovi su mu jednaki). Formula bi bila: alfa n = (n-2)*180°/n. 11.02.2017
Zona Ozona : Rasime, pogledaj malo niže rješenje zadatka od Sunite (09.02.2017). Pošalji mi rješenje, pa ću ti reći je li točno, i ako nije zašto nije. 11.02.2017
Zona Ozona : Kanita, da bi saznali za koji x će vrijednost izraza 5x-10 biti jednaka vrijednosti izraza 3x+15, moramo riješiti jednadžbu 5x-10=3x+15. Ova jednadžba će imati samo jedno rješenje, tako da tu nema biranja između više mogućnosti. 5x-3x=15+10, odnosno 2x=25 iz čega izlazi da je x=25/2 ili x=12,5. To nije cjelobrojna vrijednost, što znači da nije ni najmanja cjelobrojna vrijednost, što bi bio odgovor na vjerojatno pogrešno postavljeno pitanje u tvom zadatku. 2/3y-1 je matematički izraz, ali nije zadatak. 11.02.2017
Matija : Matija:sto znaci malo dn i veliko Dn u matematici,sto zanci alfa n 11.02.2017
Rasim : (5x-1)^2+(12x+1)^2 11.02.2017
kanita : 2/3y-1 11.02.2017
kanita : odredi najmanju cjelobrojnu vrijednost x zap koju izraz 5x-10 ima vrijednost izraza 3x+15? molim vas cjeli postupak rada posto mi nije jasno ovo pitanje 11.02.2017
Zona Ozona : Emina, zaboravio sam prokomentirati da je i 2007*2008 djeljivo s 12 jer je lijevi broj djeljiv s 3 (zbroj znamenaka 9) a desni s 4 (08, odnosno 8 je djeljiv s 4). Ako su neka dva broja djeljiva s istim brojem, onda je i njihov zbroj djeljiv s tim brojem. To znači da je broj nastao kao zbroj od 168 i 2007*2008 isto djeljiv s 12. 09.02.2017
Zona Ozona : Emina, a mora biti 8. Broj je djeljiv s 12 ako je djeljiv s 3 i s 4. 168 je djeljiv i s 3 i s 4. Broj je djeljiv s 4 ako je broj kojeg čine zadnje dvije znamenke djeljiv s 4. Dakle, a mora biti ili 0 ili 4 ili 8, jer su 60, 64, i 68 djeljivi s 4. Zbog djeljivosti s 3 zbroj znamenaka mora biti djeljiv s 3, a taj uvjet zadovoljava samo 168 (1+6+8=15, 15 je djeljiv s 3). 164 (1+6+4=11) ili 160 (1+6+0=7) ne zadovoljavaju taj uvjet, jer niti 11 niti 7 nisu djeljivi s 3. 09.02.2017
Zona Ozona : Ajla, broj je djeljiv s 15 ako je djeljiv s 3 i s 5. Broj je djeljiv s 5 ako završava s 0 ili 5. Dakle, y mora biti ili 0 ili 5. Broj je djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenaka (cifara) djeljiv s 3. Ako je y = 0, onda x mora biti 2, 5 ili 8. Ako je y = 5, onda x mora biti 0, 3, 6 ili 9. 09.02.2017
Ajla : U broju 1×33y odredi znamenke x i y tako da broj bude djeljiv sa brojem 15 09.02.2017
Emina : Odredi cifru a tako da izraz 17×16a+2007×2008 bude djeljiv sa brojem 09.02.2017
Ajla : De pomozite molim vas 09.02.2017
Ajla : U broju 1*33y odredi znamenke x i y tako da broj bude djeljiv sa brojem 15 09.02.2017
Emina : Odredi cifru a tako da izraz 17*16a+2007*2008 bude djeljiv sa brojem 12 09.02.2017
Zona Ozona : Sunita, postoji formula koja se zove kvadrat zbroja i koja glasi: (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 (za desnu stranu se obično govori "prvi na kvadrat plus dvostruki prvi puta drugi plus drugi na kvadrat"). Po toj formuli (x + 3)^2 = x^2 + 2*x*3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 i (x + 2)^2 = x^2 + 2*x*2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4. 09.02.2017
basic sunita : (x+3)^2 08.02.2017
basic sunita : (x+2)^2 08.02.2017
Zona Ozona : Suana, niti jedan zadatak nije dobro prepisan od početka do kraja. Ipak ću probati da ti objasnim pojam ekvivalentnosti koji se pojavljuje u svakom zadatku. Nejednadžbe su ekvivalentne ako imaju isto rješenje. Npr. x>3 i x+2>5 su ekvivalentne nejednadžbe. Prvu ne trebaš rješavati, ona je već riješena (x>3 - ovo označava sve brojeve koji su veći od 3). Kod druge 2 prebaciš na desnu strana znaka nejednakosti. Dobiješ x>5-2 (2 je kod prebacivanja promijenio predznak). 5-2=3, dakle rješenje je x>3. Vidiš da je rješenje druge isto kao prva nejednadžba, a to znači da su one ekvivalentne. Dakle, nije bitno koliko je nejednadžbi, ako rješavanjem svake od njih dobiješ uvijek isto rješenje, znači da su to ekvivalentne nejednadžbe. x>4 i 2x>8 su isto ekvivalentne nejednadžbe, jer kad drugu nejednadžbu podijeliš s dva, dobiješ x>4, a to je prva nejednadžba. 07.02.2017
suana : zamjeni nejednacinu ekvivalentnom nejednacinom najednostavnijeg oblika x+1>3, -3x+27x-7, 1/3y-5>3y-2, (3x-1)^2 07.02.2017
suana : pokazi da su ekvivalentne nejednacine 7x-4 07.02.2017
suana : zamjeni nejednacinu ekvivalentnom nejednacinom najednostavnijeg oblika x+1>3, -3x+27x-7, 1/3y-5>3y-2, (3x-1)^2 07.02.2017
suana : iz skupa nejednacina odredi one koje su ekvivalentne {x>4,2-x 07.02.2017
suana : provjeri tacnost ekvivalencije nejednacina -3x-2;; za x={ -2, -1, 0 ,1 ,2 } 07.02.2017
suana : pokazi da su ekvivalentne nejednacine x>3 ix+2>5 ;x>4 i2x>8; x-5 ? 07.02.2017
Zona Ozona : Elvedina, neka je x broj učenika u odjeljenju. 2/5 x (ili 2x/5) su djevojčice, a preostale 3/5 x (ili 3x/5) su dječaci (jedno cijelo ima 5 petina). Jednadžba je 2x/5 + 5 = 3x/5. Jednadžbu pomnožiš s 5. Dobije se 2x + 25 = 3x, odnosno x = 25. 06.02.2017
Zona Ozona : Elvedina, neka je udaljenost kuće od škole x kilometara. Nakon pređenog 1 km ostalo je x-1 km, a polovina tog ostatka se može zapisati kao (x-1)/2 (ti ćeš to napisati kao razlomak, pa ti neće trebati zagrada oko x-1). Petina puta se može zapisati kao x/5. Ovo je jednažba: 1 + (x-1)/2 + x/5 + 1 = x. Dakle, cijeli put (x sa desne strane) sastoji se od "dijelova" napisanih na lijevoj strani jednažbe. Jednadžbu pomnožiš s 10 (da se riješiš razlomaka). Nakon sređivanja dobiješ 3x = 15, odnosno x = 5. 06.02.2017
Zona Ozona : Elvedina, ovaj prvi zadatak sa osobama imaš riješen (pogledaj zadatak od Kane (31.01.2017) i moj odgovor (02.02.2017)). 06.02.2017
Zona Ozona : Lamija, Mirela, Sekana, ovo što ste napisale nije zadatak. 06.02.2017
Elvedina ćehić : U odjeljenju su dvi petine učenika djevojčice.Ako bi doslo jos 5 djevojčica, broj dječaka i djevojčica bio bi isti. Odredi broj učenika u tom odjeljenju 06.02.2017
Elvedina ćehić : Kada je pjesak na putu od kuce do skole presao 1km i polovinu ostatka puta, ostalo mu je da propješači petinu cijelog puta i 1km. KOLIKO JE UDALJENA SKOLA OD KUCE? 06.02.2017
Elvedina ćehić : Koliko je bilo osoba u nekom drustvu ako je poslije odlaska 18 osoba ostalo njih trecina 06.02.2017
Lamija : Mirela 5x-3 06.02.2017
Mirela : 5x-3 06.02.2017
sekana : 5x-3 06.02.2017
Zona Ozona : Larisa, buduće godine (x+10) je pet puta više od prijašnjih (x-10). Ako ovo zapišemo matematički, to je x+10=5(x-10). Na desnoj strani je izostavljen znak za množenje između 5 i zagrade (nadam se da znaš da je to dopušteno). Dalje, x+10=5x-50 (5 sam pomnožio sa zagradom). Dalje, x-5x=-10-50.Dobije se -4x=-60. Podijeliš s -4. (-60):(-4)=15, dakle x=15. Osoba sada ima 15 godina. 06.02.2017
larisa : hvala na odgovoru nije mi jasno molim vas cijel postupak kako se radi zadatak treba mi za sutra 05.02.2017
Zona Ozona : Larisa, sa x ćemo označiti ono što se traži, a to je koliko godina ta osoba ima danas. Prije 10 god. je imala x - 10, a za 10 god. će imati x + 10 godina. Jednadžba je: x + 10 = 5(x - 10). Ovo se lako riješi. Dobije se x = 15. 04.02.2017
Larisa : Jedna osoba će,za 10 god.imati 5 puta više god.,nego što je imala prije 10 god.Koliko god.ima sada ? 04.02.2017
Zona Ozona : Asmira, jednadžba je (a+2) na kvadrat = a na kvadrat + 16. (S a2 ću označavati a na kvadrat.) Nakon kvadriranja lijeve strane (formula za kvadrat binoma) dobije se a2+4a+4=a2+16. Nakon sređivanja dobije se 4a=12, odnosno a=3. Formula za obim je O=4a. Dakle, O=4*3=12. Obim iznosi 12 cm. 02.02.2017
Zona Ozona : Kana, rješenje se dobije iz jednadžbe x - 18 = 1/3 x. Pomnožiš s tri. Dobije se 3x - 54 = x, odnosno 2x = 54. Podijeliš s dva. Rješenje je x = 27. Dakle, bilo je 27 osoba (18 je otišlo, ostalo je 9 što je 1/3 od 27). 02.02.2017
Zona Ozona : Sunita, to je kvadratna jednadžba. Na desnoj strani treba biti nula. Dakle a2+16-a-2=0, odnosno a2-a+14=0. Ovo se riješava preko formule za kvadratnu jednadžbu (x1,2= ..., sigurno je znaš). Rješenja će biti sa "i" jer je ispod korijena negativan broj (-55). Možda si nešto pogrešno prepisala. 02.02.2017
asmira : Pri povećanju stranice kvadrata za 2cm , njegova površina se poveća za 16cm2 .Koliki je obim tog kvadrata? 31.01.2017
kana : koliko je bilo osoba u nekom drustvu ako je posle odlaska 18 osoba osoba ostalo njih trecina 31.01.2017
basic sunita : a2+16=[a+2) 31.01.2017
Zona Ozona : Mario, u obliku jednadžbe to se ovako zapisuje: 40/100 * x = 62 ("od" se pretvara u množenje, a "iznosi" u jednako). Možeš zapisati i ovako: 0,4x = 62. Podijeliš s 0,4 i dobiješ x = 155. 23.01.2017
Mario : 40% od x iznosi 62 22.01.2017
Zona Ozona : Lara, krenimo od ovog: a : b = c (d). U zagradi je ostatak dijeljenja. Kako možemo na drugi način ovo zapisati? Ovako: a = b * c + d. Kod tebe je a = 87, c = 10 i d = 3. Dakle imamo 87 = 10b + 3. Ova jednadžba nema cjelobrojno rješenje, tako da zadatak ovako postavljen nema rješenje. Provjeri jesi li dobro prepisala zadatak. 10.01.2017
Lara : 2. S kojim brojem treba podijeliti 87 da se dobije kvocijent 10 i ostatak 3? Znam rješenje na pamet, ali kako ga postaviti? 09.01.2017
Zona Ozona : Maki, 2 + 2 : 2 = 3. Dijeljenje i množenje imaju prednost nad zbrajanjem i oduzimanjem. Ako želiš dati prednost zbrajanju, moraš ovako napisati: (2 + 2) : 2 i to je jednako 2. Dakle, 3 - 3 * 6 + 2 = 3 - 18 + 2 = -13. 02.12.2016
Maki : 3-3×6+2 01.12.2016
Zona Ozona : Đuro, svaki učenik ima šansu 1/26 da bude prozvan. Šansa da bude iz grupe koja je dobila odličnu ocjenu je 6/26. Vjerojatnost da bude prozvan i da je iz grupe koja je dobila odličnu ocjenu dobivaš množenjem gornjih vjerojatnosti. Identično postupaš i u ostalim situacijama, s tim da u b) slučaju treba još zbrojiti vjerojatnosti dobivene množenjem. Dakle, rezultati su: a) 1/26 * 6/26 b) 1/26 * 6/26 + 1/26 * 5/26 c) 1/26 * 2/26. Ovi rezultati se još mogu srediti, ali na ovaj način se najlakše provjeri da li su dobri, jer se vidi logika kako se do njih došlo. 01.12.2016
Zona Ozona : Miloš, imaš nekoliko dobrih rezultata. Daću ti samo lijevi broj, a ti na kalkulatoru provjeri da li sve štima. Dakle, mogući brojevi s lijeve strane znaka množenja su 5626, 6876, 8126 i 9376. Mislim da su to svi, ali ne isključujem mogućnost da mi je još neki izmigoljio, jer sam zadatak dosta brzo rješavao. Sam postupak je bez pokazivanja jako teško objasniti. Uglavnom, trebaš množiti onako kako su nas učili u osnovnoj školi, s potpisivanjem, i pri tome uzimati u obzir koji sve brojevi mogu doći umjesto zvjezdica. Prvo se krene od krajnje desne zvijezdice za koju postoje samo dvije mogućnosti, 1 ili 6. Kad umjesto x napišeš neku od tih mogućnosti, gledaš što se dalje dešava, da li se prenosi neki broj dobiven množenjem ili zbrajanjem znamenaka koje su jedna ispod druge. Na taj način dolaziš do zaključka koji broj zadovoljava, a koji otpada. Npr. ako ti treba broj 2, onda se 6 treba množiti s 2 ili 7. Opet analiziraš što će biti dalje, i ostavljaš broj koji prolazi, itd. U biti, ovakvi zadaci su zabavni i samo traže dobru koncentraciju i malo logičkog razmišljanja. Probaj naći za početak jednostavnije primjere, s manje nepoznatih znamenaka, da se malo ufuraš. Još da napomenem da su u ovom primjeru neki brojevi otpadali jer se kod množenja nije dobivao osmeroznamenkasti rezultat. 01.12.2016
Djuro : U 7. A razredu na pisanom ispitu iz matematike od 26 ucenika 6 ih je dobilo ocjenu odlican, 7 vrlo dobar, 5 dobar i 6 dovoljan. Nitko nije dobijo ocjenu nedovoljan. Svi ucenici imaju jednaku vjerovatnost da budu usmeno ispitani. Kolika je vjerovatnost :a) da je prozvani ucenik dobijo odlican b) da je prozvani ucenik dobijo dovoljan ili dobar c) da prozvani ucenik nije pisao ispit 29.11.2016
miloš : xxxx*2016=xxxx2016 29.11.2016
Zona Ozona : Lea, rezultat je 420 stotina. 07.11.2016
Lea Kapucija : Koliko je 35 stotina pomnoženo sa 12 05.11.2016
Zona Ozona : Maja, ovo što si napisala je besmisleno. Šezdeset podijeljeno jednako tri ??? 31.10.2016
maja đuric : 60/ =3 31.10.2016
Zona Ozona : Boki, podijeli 2 s 3 i rezultat pomnoži s tim čudno napisanim brojem. Ili, podijeli taj broj s 3 (da dobiješ kolika je jedna trećina) i rezultat pomnoži s 2. 23.10.2016
boki : koliko je dvije trecine od 20 000 00 kuna 22.10.2016
Zona Ozona : Nevia, svi višekratnici broja 10512 dobiju se množenjem 10512 s 1, 2, 3, 4, ..., i tako u beskonačnost. Ako je x višekratnik broja 10512, onda se on može napisati u obliku x = 10512 * k (ili x = 10512k), pri čemu je k prirodan broj, dakle element skupa {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Ovo je jedini način da se napišu svi višekratnici, jer ih ima beskonačno mnogo. 16.10.2016
Nevia : Napisi sve brojeve kojima možeš zamijeniti slovo x ako znasda daje x visekratnik broja 10.512 15.10.2016
Zona Ozona : Jelena, koliko je 4 x 2 jabuke? Logika je ista u oba slučaja. 4 x 2a = 8a. 21.09.2016
Jelena : Moze li da se pomnozi 4×2a 21.09.2016
Zona Ozona : Marko, kod ovakvih zadataka uvijek savjetujem da se prvo srede lijeva i desna stranu jednakosti (zbrojiš i oduzmeš posebno brojeve a posebno x-eve, odvojeno za svaku stranu jednakosti). U ovom slučaju to znači da na lijevoj strani trebaš zbrojiti 10 i 3. Dakle, nakon sređivanja dobije se X + 13 = 3. Sad trebaš nepoznanice (x-eve) prebaciti na lijevu stranu, a brojeve na desnu stranu znaka jednakosti. Dobije se X = 3 - 13 (13 je s lijeve prešao na desnu stranu, pa je promijenio predznak). Konačno rješenje je X = -10. 13.09.2016
Marko : X+10+3=3 11.09.2016
Zona Ozona : Merejm, nacrtaš kružnicu sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i polumjerom 1 (uzmi malo veću jedinicu, npr. 3cm). Svaka točka na kružnici ima koordinatni zapis u obliku (x, y). Točkama kružnice pridruženi su i brojevi, i ti brojevi predstavljaju mjere kutova u radijanima. Ako je točki s gornjim koordinatama pridružen broj t, onda je sin(t)=y a cos(t)=x (sinus je y koordinata - očitava se na y-osi, a kosinus je x-koordinata - očitava se na x-osi). U tvom pitanju nije potpuno jasno da li se traži kosinus od dvije trećine (nedostaje "od") ili je vrijednost kosinusa dvije trećine. U oba slučaja bi na x-osi označili točku koja bi se nalazila između 0 i 1, s tim da bi se u drugom slučaju (kosinus jednak 2/3) ta točka nalazila točno na 2/3 po x-osi (ako bi jedinica bila duga 3 cm točka bi se nalazila na udaljenosti 2 cm desno od ishodišta na x-osi). Trebalo bi još označiti točku na kružnici kojoj odgovara takav kosinus - ona bi se nalazila točno iznad točke koju smo na x-osi označili kao kosinus (u prvom slučaju bi je označili sa E(2/3), a u drugom sa E(t)). Ovdje vrijedi ona izreka da jedna slika vrijedi kao tisuću riječi, a svakako bi bilo dobro dodati i ton. U udžbeniku za treći razred pronađi poglavlje u kojem se definiraju trigonometrijske funkcije. 06.06.2016
merejm : Graficki odredi Kosinus dvije trecine 06.06.2016
Zona Ozona : Mama, teško mi je povjerovati da ovo ne znate. Dva puta manja masa od 1 kg je 1/2 kg (pola kilograma ili 50 dag ili 500 g). Razlomak 1/2 znači da smo jedan podijelili s dva. Dva puta manja masa od 5 kg bila bi 5/2 kg ili 2,5 kg (5:2=2,5). 27.05.2016
mama : Dva puta manja masa od 1 kg 27.05.2016
Zona Ozona : Marko, koliko puta je 27 veće od 5, toliko puta ćeš dobiti više suvih šljiva. Dakle, 27 podijeliš s 5 i dobiveni rezultat pomnožiš s 3. Matematički, postavi se omjer 27 : 5 = x : 3. Umnožak vanjskih članova omjera jednak je umnošku unutarnjih. 27 * 3 = 5 * x, ili 5x = 81. Podijelimo s 5 i dobivamo x = 16,2. Iz 27 kg svježih šljiva dobilo bi se 16,2 kg suvih šljiva. 25.05.2016
marko : od 5kg svjezih sljiva moze se dobiti 3kg suvih.koliko se kilograma suvih sljiva moze dobiti od 27kg svjezih... 25.05.2016
Zona Ozona : Marko, problem trebaš gledati na ovaj način: (cos160+cos40)+(cos120+cos80). Na svaku zagradu trebaš primijeniti formulu cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2). Dobije se 2cos100cos60+2cos100cos20=2cos100(cos60+cos20). Pretpostavljam da se traži da zadani izraz napišemo u obliku umnoška. Trebamo gornju formulu primijeniti na zagradu (cos60+cos20). Konačni rezultat izgleda ovako: 4cos20co40cos100. cos100 može se zamijeniti s -sin10, pa se rezultat može zapisati i ovako: -4sin10cos20cos40. 07.05.2016
Marko : cos40+cos80+cos120+cos160 07.05.2016
Zona Ozona : Lucija, ovaj zadatak se može riješiti potpuno logički. Za 3 slikovnice joj fali 30 kn, a sa jednom ima 10 kn viška. Tih 10 kn viška i ovih 30 kn što joj fali zajedno predstavljaju iznos koji bi morala platiti za dvije slikovnice razlike (3-1). Dakle dvije slikovnice koštaju 40 kn, odnosno jedna košta 20 kn. Na tih 20 kn dodaš 10 kn viška i to je iznos koji Marija ima (30 kn). Matematički, do rješenja bi se došlo preko jednadžbe x + 10 = 3x - 30 (x je cijena jedne slikovnice). Marija ima x+10 ili 3x-30 kuna (to je isti iznos pa se može napisati gornja jednadžba). Nepoznanice na jednu, poznanice na drugu stranu jednadžbe => -2x = -40 i nakon dijeljenja s -2 => x = 20. Marija ima x + 10 = 20 + 10 = 30 (može i 3x - 30 = 3 * 20 - 30 = 60 - 30 = 30) kuna. 21.04.2016
Lucija : Ako bi Marija kupila 1 slikovnicu ostalo bi joj 10 kyna, ako bi htjela kupiti 3 slikovnicu, nedostajalo bi joj 30kn. Koliko story 1 slikovnica i koliko kuna ima Marija? 21.04.2016
Zona Ozona : Semi, ovo je problem u kojem imamo više nepoznanica nego jednadžbi, što upućuje na to da rješenje nije jedinstveno. Neka su sa x,y,z označeni redom brojevi muškaraca, žena, odnosno djece. Prva jednadžba glasi: x + y + z = 12. Druga jednadžba je 2x + 1/2 y + 1/4 z = 12. (Prva se odnosi na ukupan broj osoba, a druga na način raspodjele kruha.) Drugu jednadžbu treba pomnožiti s 4, zatim iz prve izraziti npr. z i uvrstiti u drugu. Nakon sređivanja druge jednadžbe dobiva se 7x + y = 36. Dakle y = 36 - 7x. Sad to uvrstimo u z = 12 - x - y i dobivamo z = 6x - 24. Obzirom da se i y i z moraju nalaziti između 0 i 12 (strogo manje od 12 jer bi ostalo viška kruha) lako se dobije da x mora biti ili 4 ili 5 (staviš 0 ≤ y < 12, isto tako i za z, uvrstiš gornje izraze s x umjesto y i z i riješiš te nejednadžbe pri čemu rješenja moraju biti cijeli brojevi). Na kraju imamo dva rješenja: x = 4, y = 8, z = 0 i x = 5, y = 1, z = 6. 17.04.2016
Semi : 12 komada kruha treba podjeliti na 12 osoba.Ako svaki muskarac dobije 2 kruha.svaka zena 1/2(jednu polovinu) a svako djete 1/4(jednu četvrtinu).Koliko ima muskaraca po koliko zena a koliko djece.LP 16.04.2016
Zona Ozona : Maša, 96% od 100 kg je 96 kg. Toliko ima vode. Ta ista voda sad čini 95% mase krumpira. Možemo postaviti jednadžbu: 95/100 * x = 96, gdje je x nova masa krumpira. x = 96 * 100/95 = 1920/19. Dakle, masa krumpira je porasla (malo čudno) i sad iznosi približno 101,05 kg. 20.03.2016
masa : Ako u 100 kg krumpira ima 96% vode, kolika je masa krumpira ako se procenat vode smanji na 95%? 20.03.2016
Mario : Hvala vam. Lijep pozdrav! 19.03.2016
Zona Ozona : Po zakonu kalkulatora 2(3) = 2 * (3) = 6, ali prva operacija ima viši prioritet što u složenijim izrazima može praviti razliku. Dakle, radi se o operacijama množenja različitih nivoa prioriteta. 19.03.2016
Zona Ozona : Možda bi se 2(3) moglo shvatiti kao 2*3. Stavljanje zagrade oko jednog broja nije greška, ali me muči nedostatak znaka množenja. Da li se 2(3) može shvatiti kao 2*(3)? Iskreno, ne sjećam se da sam ikad vidio množenje u obliku 2(3), ali ako bi stavili slovo umjesto trojke to bi bilo apsolutno korektno. 2(x)=2x=2*x ili x(y)=xy=x*y. x2 u smislu x*2 već ne bi išlo, to nije po pravilima dobrog pisanja. 23 sigurno nije 2*3. Sjetio sam se da bi bilo dobro provjeriti kako kalkulator prihvaća sporni zapis. On je 2(3) prihvatio kao 2*3 i to bi moglo biti rješenje ove zagonetke. U tom slučaju 6^2 : 2(3) + 4 = 6^2 : 2 * 3 + 4 = 36 : 2 * 3 + 4 = 18 * 3 + 4 = 58. Zanimljivo da kalkulator daje drugačiji rezultat. On je množenju dao viši prioritet, tako da je 36 podijelio sa 6 i dodao 4. Po matematičkim pravilima operacije istog prioriteta izvršavaju se onim redom kako su napisane. Kao da postoje neka nova pravila u kojima stoji da je operacija množenja zapisana na ovakav čudan način višeg prioriteta. Probao sam staviti 2 * (3). Dobio sam 58. Političari bi rekli "trebalo bi konzultirati ustavno-pravne stručnjake iz područja matematičkog pravopisa". Uglavnom, po kalkulatoru rezultat je 10. 19.03.2016
Mario : Pa recite vi meni, zato sam i postavio zadatak? 19.03.2016
Zona Ozona : Mario, što znači ova trojka u zagradi? 18.03.2016
Mario : Kako rijesiti ovaj zadatak: 6^2 ÷ 2(3) + 4 = ? 18.03.2016
Zona Ozona : Dino, petine dobivamo kad nešto podijelimo na pet jednakih dijelova. Tri petine bi bila tri takva dijela. Da bismo izračunali tri petine od 60 kg, moramo prvo izračunati kolika je jedna petina od 60 kg a onda dobiveni rezultat pomnožliti s 3. Znači, trebamo 60 podijeliti na pet jednakih dijelova, i onda uzeti tri takva dijela. 60 podijeljeno s 5 je 12. 3 puta 12 je 36 i to je to. Nadam se da je ovo dovoljno jasno. 14.03.2016
dino : kako izračunati koliko je tri petine od 60 kilogram. Zanima me postupak za djete 5-og razreda 14.03.2016
Zona Ozona : Sara, da bi kvadratna funkcija bila pozitivna za svaki x moraju biti ispunjena dva uvjeta: a>0 i D<0. Ta dva uvjeta garantiraju da se cijeli graf funkcije nalazi iznad x-osi, odnosno da je funkcija pozitivna za svaki x (a>0 grafu daje oblik slova "u", a D<0 znači da graf nigdje ne siječe ili dodiruje x-os). Kod nas je D=16 pa uvjet D<0 nije ispunjen ni za jedan m. To znači da je m element praznog skupa i to je traženi odgovor. (Naš graf x-os siječe na dva mjesta, tako da se jedan dio grafa nalazi ispod x-osi a drugi iznad, odnosno postoje x-evi za koje je funkcija i negativna.) 14.03.2016
Sara : Pozz! Za koje vrijednosti parametra m su sljedece funkcije pozitivne za svako x. Funkcija glasi: y= (m+1)x^2 - 2(m+3)x + m + 5. Ja sam radila ovako: a=m+1 , b=-2(m+3) , c=m+5. D>0. b^2- 4ac>0.Zatim sam uvrstila brojeve u ovu gore formulu te dobila rezultat gdje mi se m ponisti odnosno 4m^2+24m+36-4m^2-20m-4m-20>0, 16>0 Pa sam izvadila korijen iz 16, nisam sigurna sta dalhe u skoli smobradili slican primjer ali se m ne izgubi tj ponisti. 13.03.2016
Zona Ozona : Ivana, trećinu broja dobiješ tako da taj broj podijeliš s tri (ili pomnožiš s jednom trećinom). Ako taj broj označimo sa x, onda se njegova trećina piše kao x/3 ili 1/3 * x. 10.03.2016
Ivana : Kako dobijemo trcinu broja 10.03.2016
Zona Ozona : Jakove, prvo ćemo 315 km/h pretvoriti u m/s. 315 km/h = 315 * 1000/3600 m/s = 87,5 m/s. Za 8 s zrakoplov je prevalio put od 8 s * 87,5 m/s = 700 m. Nadam se da vidiš da tu postoji pravokutan trokut i da zrakoplov uzlijeće upravo po hipotenuzi tog trokuta koja s katetom koja leži u ravnini piste zatvara kut od 22°. Hipotenuza je duga 700 m, a duljina katete okomite na pistu (sa zrakoplovom na jednom kraju) predstavlja traženu visinu. Tu na scenu stupa trigonometrija pravokutnog trokuta jer je omjer katete koja predstavlja visinu i hipotenuze jednak sinusu kuta od 22° (nasuprotna kateta kroz hipotenuza). Dakle, x / 700 = sin 22° iz čega dobivamo x = 700 * sin 22°. Tražena visina iznosi 262,22 m (zaokruženo na dvije decimale). 27.02.2016
jakov : Zrakoplov se pri uzlijetanju otisne brzinom od 315 km/h pod kutom od 22° prema ravnini piste. Na kojoj se visini, izraženoj u metrima, zrakoplov nalazi nakon 8 s? 26.02.2016
Zona Ozona : Ok, onda idemo staviti točku na "i" i dovršiti taj zadatak: tražena vjerojatnost je 1/8 * (0/4 + 2/4 + 1/4 + 1/4 + 3/4 + 3/4 + 2/4 + 4/4) = 1/8 * 4 = 1/2. (1/8 pomnožena sa svakim razlomkom u zagradi daje vjerojatnosti dobitaka onim redom kako si dolje napisala, s tim da je na početku vjerojatnost dobitka ako kockar nije odabrao niti jednu boju.) Zadatak, kako si ga dolje postavila i nije previše težak. Dugačak je pa traži malo više koncentracije. Originalni tekst je za mene do te mjere nerazumljiv da sam mu pokušavao dati neku smislenu alternativu. Za sve koji se žele uključiti u raspravu, radi se o tekstu (Lara 04.02.2016): Ako nasumice izaberete odgovor na ovo pitanje, kolika je vjerovatnoca da ce odgovor biti tocan? I zasto? A)25% B)50% C)60% D)25%. 20.02.2016
Lara : Da točno! Postoji i mogućnost da niti jedan od četiri ponuđena odgovora nije točan. Naime, tu sam trebala istaknuti da je jedino što sigurno znamo to da se kuglica mora zavrtjeti i naravno, nakon toga, zaustaviti na nekoj boji. Ipak sam ovo pisala po sjećanju, pa vas molim za obzirnost. 19.02.2016
Zona Ozona : Lara, jesi li sigurna da trebaš osmu soluciju isključiti? Možda bi cijelu priču trebalo staviti u drugi kontekst u kojem bi i osma solucija bila logična. Uostalom, zašto kockar ne bi mogao odlučiti i da preskoči igru. I to je "legitiman" odabir. Probaj računati, pa ćeš znati zašto ovo govorim. 18.02.2016
Zona Ozona : Lara, nisi igrala fer igru. Pitao sam te otkud ti taj zadatak, nisi mi htjela odgovoriti. Kako sam mogao znati kojem se nivou znanja trebam prilagoditi? Nakon ovog pojašnjenja ispada da si genijalka koja je odlučila da se malo našali sa mnom. Ok, pročitao sam pažljivo ovo što si napisala. Ne bih se složio da je ovo ekvivalent zadatku kojeg si na početku postavila (koliko vidim, za tvog profesora je to toliko očigledna usporedba da se vjerojatno čudio kako to sami niste zaključili - ili mi ti nisi rekla cijelu istinu). Logičku ispravnost tog prvog teksta najradije bih dao na provjeru prof. Mladenu Vukoviću sa zagrebačkog PMF-a koji tamo predaje matematičku logiku. Ovaj ispod tekst je razumljiv i na njega nemam primjedbi. Ti si lopticu prebacila u moj dio terena. Ja bih predložio da igru odigramo zajedno, korak po korak. Za početak, da li sam u pravu kad kažem da su svi rasporedi koje si dolje nabrojala jednakovjerojatni, odnosno da je vjerojatnost odabira svakog od njih 1/7? 17.02.2016
Lara : OK, evo konačnog pojašnjenja spornog pitanja - "For Dummies"! U želji da nam što zornije predoči pravilan pristup naizgled paradoksalnom pitanju naš profesor je upotrijebio primjer kojeg ću ja ovdje sada pokušati prenijeti. Zamislimo, malo čudan, rulet u kazinu koji ima samo četiri polja: crno, crveno, zeleno i ponovno crno polje. To bi bilo analogno ponuđenim odgovorima sa postotcima u originalnom pitanju. Naš zadatak bi bio da izračunamo kolika je vjerojatnost da će možebitni kockar osvojiti zgoditak igrajući na takvom ruletu. Sada ide onaj najvažniji dio. Pored toga što ne znamo na kojem će polju kuglica završiti, to je pak analogno nasumičnom izboru odgovora, mi također ne znamo niti kako će kockar raspodijeliti svoje žetone. Na to sam mislila kada sam rekla da treba uzeti u obzir sve moguće kombinacije točnih i netočnih odgovora. Dakle, kockar osim što svoje žetone može položiti na crno, crveno ili zeleno polje, također ih može raspodijeliti na crno i crveno polje, na crno i zeleno, crveno i zeleno ili ih pak može raspodijeliti na sve tri boje, u zadnjem slučaju možda neće ostvariti dobit ali će zato vjerojatnost za zgoditak biti 100%. Jedinu stvar koju kockar sigurno ne može uraditi je to da nikako ne položi žetone jer u tom slučaju problem više i ne postoji. Nakon što smo s gornjim primjerom razriješili, nadam se ovoga puta uspješno, logički dio pitanja ostaje nam još samo izračunati vjerojatnost a to ću ipak prepustiti vama. 16.02.2016
Zona Ozona : Lara, evo primjer za ovo razmišljanje: Kolika je vjerojatnost da ćemo nasumičnim izborom odgovora točno odgovoriti na pitanje "Koji je danas dan?" Odgovori su dani pod A), B), C) itd. i svaka od tih mogućnosti sadrži neki dan u tjednu (uopće nije bitno koji dan, čak ne moraju biti ni svi dani ponuđeni). Znamo da je sedam mogućih odgovora i da svaki ima istu vjerojatnost da je točan, Odgovor na gornje pitanje je 1/7. 12.02.2016
Zona Ozona : Zapravo, ovo dolje je tako logično da sam mogao i manje riječi upotrijebiti. Koju god mogućnost (A, B, C, ...) odaberemo, uvijek imamo istu vjerojatnost da se u njoj nalazi točan odgovor (pod uvjetom da su svi mogući odgovori sa istom vjerojatnošću točni). Vjerojatnost je 1/(broj mogućih odgovora). Još jednom naglašavam: mogućnosti su A), B), C) itd. (može ih biti neograničeno) a odgovori su ono što stoji napisano iza A), B) itd. (mogu se i ponavljati). 12.02.2016
Zona Ozona : Lara, kažeš "profesor nam je rekao da griješimo kada pitanje dovodimo u svezu s ponuđenim odgovorima". Ako ponuđeni odgovori o kojima profesor govori nemaju veze s odgovorima koje ovdje spominješ "Moramo izračunati vjerojatnost na sve moguće kombinacije točnih i netočnih odgovora", kako onda možemo izračunati tu vjerojatnost (na osnovu kojih odgovora)? Zamislimo da su ponuđeni odgovori 25%, 50% i 60%, da svi imaju istu vjerojatnost da su točni (1/3) i da su nam ti odgovori ponuđeni u obliku četiri mogućnosti (A, B, C, D), pa se onda jedan odgovor ponavlja, tj. dvije mogućnosti nude isti odgovor. Ako sa istom vjerojatnošću (1/4) biramo bilo koju mogućnost, onda šansa da smo odabirom mogućnosti A odabrali točan odgovor iznosi 1/4 * 1/3 = 1/12. Isto se ponavlja i sa B, C i D. Dakle vjerojatnost da točno odgovorimo nasumičnim izborom odgovora iznosi 4 * 1/12 = 1/3. Ništa se ne bi promijenilo da smo tri odgovora rasporedili u pet mogućnosti. Vjerojatnost da smo odabrali točan odgovor bi opet bila ista: 5 * 1/5 * 1/3 = 1/3. Iz ovog vidiš da broj mogućnosti na koje smo rasporedili odgovore ne mijenja vjerojatnost, ona ovisi isključivo o broju ponuđenih odgovora. Čak ne moramo ni sve odgovore rasporediti u sve mogućnosti. Ako samo jedan odgovor rasporedimo na sve četiri mogućnosti, vjerojatnost ostaje i dalje 1/3, što je potpuno logično. U tom slučaju uopće nije bitno koju si mogućnost odabrala - sve su iste, a šansa da je odgovor ponuđen u njima točan (bez obzira koji) je 1/3. Iz ovog slijedi da bi za odgovor 50% morala biti ponuđena dva odgovora s vjerojatnošću 50% da su točni, a broj mogućnosti A, B, C, ... na koje bi ti odgovori bili raspoređeni bio bi nebitan. 11.02.2016
Lara : Ukratko, profesor nam je rekao da griješimo kada pitanje dovodimo u svezu s ponuđenim odgovorima. Na taj način upadamo u logičku zamku ili paradoks kako ste i vi to primijetili. Na pitanje moramo odgovoriti onako kako je i postavljeno, bez da unaprijed znamo točan odgovor. Moramo izračunati vjerojatnost na sve moguće kombinacije točnih i netočnih odgovora, a to je 50%. 10.02.2016
Zona Ozona : Milice, ako se sušenjem gubi 40% mase, onda ono što ostane čini 60% mase (100% - 40%). Treba izračunati 60% od 8, a to je 60/100 * 8 ili 0,6*8 = 4,8. Dakle, dobije se 4,8 kg suvih šljiva. Drugi način je bio da izračunaš ono što se gubi, a to je 40% od 8 kg, i onda to oduzmeš od 8 kg. (8 - 3,2 = 4,8) 08.02.2016
Milica : Sljive susenjem gube 40% svoje mase.Koliko se dobije suvih sljiva od 8kg svezih? 08.02.2016
Zona Ozona : Profesor je vjerojatno dobio 50% jer su dva od četiri odgovora glasila 25%, a 25% je šansa da se točno odgovori kad su ponuđena 4 odgovora od kojih je samo jedan točan. Ali, za takvo razmišljanje treba (značajno) promijeniti tekst zadatka. 06.02.2016
Zona Ozona : To je kao da izvana gledaš kako kuća gori i kažeš: Što će biti sa mnom ako sam ja unutra? 06.02.2016
Zona Ozona : Lara, što više razmišljam jasnije vidim u čemu je paradoks. Kad pročitaš ovaj tekst "Ako nasumice izaberete odgovor na ovo pitanje, kolika je vjerovatnoca da ce odgovor biti tocan?" očekuješ da se iznad tog teksta nalazi pitanje na koje se odnosi taj tekst. To sam ja nazvao nepoznatim pitanjem. Budući da njega nema, ako ćemo gornji tekst gledati kao logičku doskočicu, ispada da je to pitanje na koje se tekst odnosi zapravo sam taj tekst. Ali, po meni, tu postoji paradoks, jer prvi dio teksta "Ako nasumice izaberete odgovor na ovo pitanje" ukazuje na pitanje kojeg je on sam dio. Ne može nešto istovremeno biti izvan i unutra. To sam pokušao ispod objasniti. Zamoli profesora da objasni zašto je odgovor B). Snimi ga i prenesi objašnjenje od riječi do riječi ovdje da vidim ako griješim gdje griješim. 06.02.2016
Zona Ozona : Lara, razmisli o ovakvom tekstu: Ako nasumce izaberete odgovor na neko pitanje, kolika je vjerovatnoća da će odgovor biti točan ako su ponuđena četiri odgovora i znamo da je jedan od njih točan? Ovo je potpuno razumljiv zadatak, i iako se radi o nepoznatom "nekom pitanju" on se lako riješi. Što je pitanje u tvom tekstu? Ako kažemo "Ako nasumice izaberete odgovor na ovo pitanje" onda taj dio ne smije biti dio pitanja (jer se odnosi na pitanje), a on u tvom tekstu to jeste jer je pitanje zapravo cijeli tekst zajedno s tim početkom i s ponuđenim odgovorima. 06.02.2016
Lara : Što točno mislite s time da je pitanje nepoznato? BTW, profesor nam je danas rekao da je točan odgovor B) 50%. Thanks anyway! 05.02.2016
Zona Ozona : Lara, taj zadatak nije dobro postavljen i zato je nemoguće na njega odgovoriti. Nama su ponuđena četiri odgovora, a ne zna se jesu li oni mogući odgovori na to (nepoznato) pitanje ili predstavljaju moguće odgovore na pitanje "kolika je vjerovatnoća da ćemo nasumičnim izborom odgovora iz zadanog skupa nepoznatih mogućih odgovora na nepoznato pitanje odgovoriti točno". Da bi lakše razumjela, pretpostavimo da znamo pitanje i da su A), B), C) i D) ponuđeni odgovori. Ako bi točan odgovor bio 25%, onda bi vjerovatnoća da smo izabrali točan odgovor bila 2/4, odnosno 50% (jer su od četiri ponuđena odgovora dva točna). Ako bi točan odgovor bio B) ili C), onda bi vjerovatnoća izbora točnog odgovora bila 1/4, odnosno 25%. Volio bih znati odakle ti taj zadatak, jer pomalo dijeluje kao igra riječi. Pažljivo sam razmišljao tražeći logičku zamku. Na kraju mi se čini da ovaj odgovor ima smisla. 05.02.2016
Lara : Zadatak je ispravno prepisan, odgovori pod A) i D) jesu isti (25%). Vjerojatno je zbog toga taj zadatak i svrstan među teže zadatke. 04.02.2016
Zona Ozona : Maturanti, zbog ovog dolje u nekim zadacima na maturi postoje nekakvi uvjeti koji vas prilično zbunjuju i ne znate što bi s njima, čak zbog toga napuštate zadatak, a oni su tu samo zbog matematičke preciznosti i nemaju nikakvu drugu funkciju (osim da se autori osiguraju). Neki uvjeti su bitni i koriste se u rješavanju zadatka, a neki su dakle tu samo formalno i nigdje se ne koriste. Na žalost, ne postoji jednostavan odgovor kako razlikovati jedne od drugih. Za to je potrebno dobro poznavanje matematičke teorije. 04.02.2016
Zona Ozona : Lara, taj zadatak ipak sadrži malu nepreciznost u tekstu jer nije naglašeno da je samo jedan odgovor točan. Nedavno mi je na instrukcijama bio dečko sa odštampanim testom, gdje su u jednom zadatku bila ponuđena četiri odgovora od kojih nijedan nije bio točan (vjerojatno štamparska greška). U tom slučaju vjerojatnost da zaokružiš točan odgovor je 0/4 = 0. Matematika je dosta "sitničava" i zahtjeva precizno izražavanje. U suprotnom bi se netko mogao žaliti i "pravno gledano" dobio bi spor. 04.02.2016
Zona Ozona : Lara, ako sam dobro razumio, ponuđena su četiri (različita) odgovora od kojih je jedan točan. U tom slučaju vjerojatnost je 1/4 = 0,25 ili 25%. Uočavaš vezu "1 od 4" i 1/4. Vjerojatnost je omjer broja povoljnih mogućnosti i ukupnog broja mogućnosti. Npr. vjerojatnost da će biti izvučen pik iz špila karata je 13/52 = 1/4 nakon skraćivanja. Vjerojatnost da će biti izvučen as je 4/52 = 1/13. Vjerojatnost da će pasti paran broj kod bacanja kocke je 3/6 = 1/2, a da će pasti broj veći od 4 je 2/6 = 1/3. Kod tebe su odgovori pod A) i D) isti, što je pretpostavljam greška u prepisivanju. 04.02.2016
Lara : Ako nasumice izaberete odgovor na ovo pitanje, kolika je vjerovatnoca da ce odgovor biti tocan? I zasto? A)25% B)50% C)60% D)25% 04.02.2016
Zona Ozona : Anđela, 70% = 70 / 100 = 0,7. Dakle, ovo što si napisala nije ništa drugo nego 24000 * 0,7 = 16800. (Izračunali smo 70% od 24000.) 02.02.2016
Andjela Mitic : 24000x70% 02.02.2016
Zona Ozona : Bruno, to se riješava metodom parcijalne integracije. u = ln2x, dv = 6x^2 dx, du = 1/(2x) * 2 dx = 1/x dx, v = 6x^3/3 = 2x^3. Nakon uvrštavanja u formulu za parcijalnu integraciju dobivaš 2x^3 * ln2x - integral (2x^3 * 1/x) dx. 2x^3 * 1/x = 2x^2. Rješenje ovog drugog integrala je 2x^3/3. Konačno rješenje je 2x^3 * ln2x - 2x^3/3 + C. Na samom dnu stranice (josko) imaš riješen još jedan integral metodom parcijalne integracije. 24.01.2016
Bruno : Integral 6x^2 * ln2x dx 24.01.2016
Danica : Veliko hvala. 23.01.2016
Zona Ozona : Danice, prvo pogledaj kako sam riješio zadatak od Maria: Kako izračunati imaginarno 'i' na 2015? (datum 14.10.2015). i1=i, i2=-1, i3=-i, i4=1. Dalje se ponavlja ista shema: i5=i, i6=-1, i7=-i, i8=1 i tako dalje na isti način. Moglo bi se reći da imamo pakete od četiri člana (i, -1, -i, 1) koji se ponavljaju. Ako zbrojimo članove unutar paketa dobivamo: i+(-1)+(-i)+1=i-1-i+1=0. Postavlja se pitanje koliko ima ovakvih paketa ako idemo do "i na 50"? Imamo ih 12 (12*4=48). Svaki takav paket daje u zbroju nula, 12*0=0, tako da je zbroj od i1 do i48 jednak nuli. Ostalo je još da izračunamo ono što je ostalo, a to je i49+i50. "i49" i "i50" odgovaraju redom vrijednostima prva dva člana u paketu, a to su "i" i "-1". Dakle i49+i50=i-1=-1+i i to je rezultat. Kod množenja je ista stvar, samo će se elementi unutar paketa umjesto zbrajanja množiti. Tako je vrijednost jednog paketa i*(-1)*(-i)*1=-i*(-i)=i2=-1. Isto imamo 12 paketa, ali se ovog puta vrijednosti paketa ne zbrajaju, već se množe (-1)*(-1)*...*(-1)=(-1) na dvanaestu što daje 1 (paran broj minusa daje plus). Sad još moramo izračunati i49*i50=i*(-1)=-i. Prije toga smo imali rezultat 1 (od i1 do i 48) koji se množi sa (-i), tako da je konačni rezultat 1*(-i)=-i. "i231" i "i1999" računaš na način kako sam to objasnio za "i2015" (Mario). i231=i31=i3=-i. i1999=i99=i3=-i. 22.01.2016
Danica : Izvinjavam se bila sam nespretna pri postavljanju zadataka, i + i "na drugu"+ i"na trecu"+ i "na cetvrtu"....i"na 50"= , zatim isti zad. samo sa mnozenjem te , i"na 231"= , te i"na 1999" , Hvala :D 22.01.2016
Danica : Pozz! Zadatak koji mi zadaje probleme je vezan za imaginarne brojeve stoga vas molim da mi pomognete. Zadatak glasi izracunaj:i + i2(i na drugu...) + i3 + i4 +.......+ i50 = i * i2 * i3 * i4 * ....... * i50= i231= i1999= Hvala :D 22.01.2016
Zona Ozona : Uz pojam beskonačnosti se vežu mnogi prividni paradoksi. Tako je nekim studentima čudno zašto nula puta beskonačno ili beskonačno manje beskonačno ne mora biti nula (kod limesa to su tzv. neodređeni oblici). Trik je u tome da se radi o procesima u kojima veličine postaju sve veći i veći brojevi (bez prestanka) ili imamo veličine koje teže prema nuli (sve bliže i bliže), a nikad neće biti nula. Takva dva procesa mogu biti npr. 10, 100, 1000, 10000 itd. (proces koji teži u beskonačnost) i 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 itd. (proces koji teži nuli). Ako prvi proces daje 10 kad drugi daje 0.1, prvi daje 100 kad drugi daje 0.01, prvi daje 1000 kad drugi daje 0,001 itd., onda umnožak odgovarajućih vrijednosti uvijek daje rezultat 1. Ovo je primjer da beskonačno (prvi proces) puta nula (drugi proces) ne daje nulu nego jedan. Ako bi u procesima sve jedinice zamijenili dvojkama, i dalje bi imali beskonačno puta nula, ali bi rezultat bio četiri. Dakle, kod limesa se stvari moraju gledati dinamički, veličine se neprekidno mijenjaju, i u tom kontekstu se mora sve promatrati. 12.01.2016
Toni : Tomo, dobit ćeš Gabrielov rog /ili Torricellijeva truba/, figuru koja ima beskonačnu površinu, ali konačan volumen. Podroban opis tog osobitog paradoksa možeš pronaći na našem portalu znanja "tonimilun.com"! Pitanje: Tko uređuje ovaj forum? PRIDRUŽITE NAM SE! Po zanimanju ste profesor razredne nastave ili predajete na fakultetu? Zanimljivi ste, a ujedno i šaljivi? Nije Vas strah stati pred kamere? Što još čekate? Javite nam se "info@tonimilun.com"! S poštovanjem, Toni Milun & Funny maths team! 04.01.2016
Zona Ozona : Ady, prvu i drugu proporciju pomnožiš s dva. Dobiješ a:b=4:6 i b:c=6:8. Sad možeš napisati produženu proporciju: a:b:c:d=4:6:8:9. U zadatku 10 matura - osnovna razina objasnio sam detaljno postupak kod ovakvih zadataka, pa bih te molio da to proučiš. 24.12.2015
Ady : Postavio nam profesor matematike ovaj zadatak bez objasnjenja pomoc molim!? "Napisati produzenu proporciju iz zadanih proporcija: a:b=2:3 b:c=3:4 c:d=8:9" 24.12.2015
Zona Ozona : Branko, 1% od 1 = 1 / 100 * 1 = 0,01 (litara). (Pogledati rješenje prethodnog zadatka.) 22.12.2015
branko gluščić : koliko je 1% od 1 litre 22.12.2015
Zona Ozona : Bimbo, znak % se pretvara u dijeljenje sa 100 a "od" se pretvara u množenje. 0,2 % od 60 = 0,2 / 100 * 60 = 0,12. 15.12.2015
bimbo : koliko je 0,2 % od 60 kg 14.12.2015
Zona Ozona : Ana, tri puta manje od nekog broja x je x/3 (ili x:3). Dakle, tri puta manji broj od broja 9 je 9/3 ili izračunato 3. 10.12.2015
ana : Kako cu napisati tri puta manje od broja 9, matematicki 10.12.2015
Zona Ozona : Ivana, vjerujem da znaš da se s nulom ne može dijeliti. Matematički razlog je vrlo jednostavan. 6 : 2 = 3 => 3 * 2 = 6. Zamislimo da je 100 : 0 neki broj. U provjeri taj broj puta nula ne bi dao sto, što bi značilo da rezultat dijeljenja nije dobar. Čak ni 0 : 0 nije dobro, jer tu imamo drugi problem. S pozicije provjere, tu bi svaki broj kao rezultat bio dobar, jer bilo koji broj puta nula daje nulu. Kod svih "normalnih" dijeljenja imamo samo jedan rezultat, a kod dijeljenja s nulom ili nemamo rezultat (kao kod 100 : 0), ili imamo beskonačno mnogo dobrih rezultata (kao kod 0 : 0). Zato se s nulom ne dijeli. Obrnuto funkcionira: 0 : 100 = 0 jer je 0 * 100 = 0 i to je jedini rezultat koji prolazi provjeru. Mogli bi i filozofski razmišljati zašto nije logično dijeliti s nulom. Ako imaš darove koje želiš podijeliti, a nemaš ih kome podijeliti, onda to nema smisla. 23.11.2015
Ivana : 100:0 23.11.2015
sanja zigic : hvala i 3 mi je tacan mnogo ste mi pomogli videcu jos za 7 hvala puno 20.11.2015
Zona Ozona : Prvi a) je dobar. Već sam govorio o njemu u mom drugom komentaru. 20.11.2015
sanja zigic : a jer mi 1.zadatak pod a/ dobro pitanje je pokrio dobit dobila sam x=1,25 pod b/ nasla sam gresku u racunu hvala pogledacu i druge zadatke 20.11.2015
Zona Ozona : Sanja, prvi pod b) bi trebala dobiti x=0,89 što znači da je ostatak robe prodan s gubitkom od 11%. c) je dobar, ostatak robe prodan je sa zaradom od 73%. Čim ti je c) dobar, znači da znaš postupak rješavanja. Mora da si na nekoj sitnici pogriješila. Nakon množenja sa 6 trebaš dobiti 2,2+2,55+x=5,64. Kod trećeg zadatka trebala si dobiti x=480000. Zarada je 5%. Ako ne možeš otkriti grešku najbolje je da kreneš ispočetka. Provjeri da li je ovaj zadatak ispod dobro prepisan. Možda treba na ovih 5700 još koju nulu dodati, ili od 1800000 oduzeti, da se smanji razlika između ta dva broja. Ovo pitanje "koliko robe je prodano" je čudno jer ako je ostatak robe prodan za 5700, znači da je sva roba prodana. Za ovako postavljen zadatak jednadžba glasi: 1/6 x * 1,05 + 1/5 x * 1,2 + 1/3 x * 0,9 + 5700 = 1800000. Nakon sređivanja i množenja s 30 trebaš dobiti 21,45 x = 53829000. Za x se ne dobiva lijep rezultat. Zato sumnjam u taj zadatak. 19.11.2015
sanja zigic : 7. i taj me muci zadatak 1/6 od ukupne kolicine robe potrebna sa zaradom od 5%, 1/5 sa zaradom od 20% ,1/3 sa gubitkom od 10% .Ostatak robe podataka je za 5700din.,pa je ostvarenaom planirana dobit .Ukupna kolicina prodata 1.800.000 din. Koliko je robe prodato,a koliko je planirana cena. ja sam ovo uradila 1/6x * 1,05 + 1/5x * 1,2 + 1/3x * 0,9 + 0,3x =5700 ne znam dalje i da li mi je i ovo tacno molim vas da mi uradite 19.11.2015
sanja zigic : Treći zadatak se riješava preko jednadžbe 1,1 * 1/3 x + 1,15 * 1/4 x + 0,95 * 5/12 x = x + 24000, gdje x predstavlja nabavnu cijenu. uradila sam tako sto sam pomnozila sa NZS 12 i dobila x=338823,5 Zaradu u procentima bi dobila tako da 24000 podijeliš s dobivenom nabavnom cijenom i pomnožiš sa 100. i dobila 7,08 jer mi tacno molim vas ne znak kako drugacije da uradim 19.11.2015
sanja zigic : hvala uspela sam da ga uradim po preporucenom zadatku 2 zadatak 19.11.2015
sanja zigic : hvala 4 zadatak mi je jasan 1.zadatak sam uradila uzspomoc vasu pod a/ja sam sve pomnozila sa 6 kao NZS i dobila x=1,25 b/ isto saNZS 6 x= 1 v/ x= 1.73 da li mi je tacno molim vas kazite a ako ne objasnite mi 19.11.2015
Zona Ozona : Sanja, ne znam da li si pročitala preporučeni zadatak. Evo ti rješenje za drugi zadatak: 1,075 * 1,125 * 0,8 x = 193500 => 0,9675 x = 193500 => x = 200000. Pošto konačna cijena iznosi 0,9675 početne cijene, odnosno 96,75% početne cijene, konačna cijena je snižena za 3,25% u odnosu na početnu cijenu (100 - 96,75 = 3,25). 19.11.2015
Zona Ozona : Sanja, četvrti pod a) je najobičniji postotni račun. Ako se pri sušenju gubi 40% mase, onda ono što ostane čini 60% početne mase. 60% od 1 kg = 60/100 * 1 = 0,6 kg. Sad je potpuno jasan i b) dio zadatka. 200gr suvih šljiva čini 60% početne mase. Jednadžba je: 60/100 x = 200 ili nakon skraćivanja 3/5 x = 200. Pomnožiš s 5 i podijeliš s 3 i dobiješ x = 1000/3, što je približno 333,33 g svježih šljiva. 19.11.2015
Zona Ozona : Sanja, x kod donje jednadžbe iznosi 1,25 što znači da ostatak robe treba prodati s 25 procenata zarade. 19.11.2015
Zona Ozona : Sanja, prvi zadatak se najlakše rješava ovako: 1/3 * 1,1 + 1/2 * 0,85 + 1/6 * x = 1 Ovo je slučaj a). Za b) i c) samo bi promijenila desnu stranu, tako da bi umjesto 1 stajalo 0,94, odnosno 1,08. Uz svaki član gornje jednadžbe mogla je stajati nepoznanica koja bi označavala ukupnu vrijednost robe. Dijeljenjem jednadžbe s tom nepoznanicom ona bi se izgubila, pa je nema potrebe pisati. 1/6 se odnosi na preostalu količinu, ili preciznije na vrijednost preostale količine (1-1/3-1/2=1/6). Kako sam došao do 1,1 ili 0,85 kao i 0,94 i 1,08 saznat ćeš ako pročitaš ZADATAK 2 za osnovnu razinu mature. To se odnosi i na tvoj drugi zadatak, samo su drugi brojevi. Treći zadatak se riješava preko jednadžbe 1,1 * 1/3 x + 1,15 * 1/4 x + 0,95 * 5/12 x = x + 24000, gdje x predstavlja nabavnu cijenu. Zaradu u procentima bi dobila tako da 24000 podijeliš s dobivenom nabavnom cijenom i pomnožiš sa 100. 19.11.2015
sanja zigic : 4.pri susenju sljiva gubi se 40% mase a/ koliko se suvih sljiva dobije od 1kg svezih b/ koliko je svezih sljiva potrebno da se dobije 200gr suvih 18.11.2015
sanja zigic : 3. 1/3 od ukupne kolicine prodata je sa zaradom od 10%.1/4 15% ,a ostatak sa gubitkom od 5% .Izracunaj nabavnu cenu i zaradu u procentima ako je ukupna dobit od 24000 din. 18.11.2015
sanja zigic : 2. cena robe povecana je za 7,5% robe,a zatim za 12,5%,a onda se smanjuje za 20% I SADA JE 193.500.zA KOLIKO PROCENATA JE PROMENJENA CENA U ODNOSU NA PRVOBITNU,I KOLIKA JE BILA PRVOBITNA CENA 18.11.2015
sanja zigic : 1.1/3 od ukupne kolicine robe prodato je sa zaradom od 10%,1/2 sa gubitkom od 15% .Sa koliko procenata zarade treba prodati ostatak robe da se:a/ pokrio dobit, b/bio gubitak od 6%,v/ bila dobit od 8% 18.11.2015
Zona Ozona : Tomo, ovaj drugi složeniji integral mogao bi se riješiti i bez Čebiševa uvođenjem supstitucije t=tg(z). Nakon sređivanja i malog trika uslijedila bi još jedna supstitucija sin(z)=u. Integral bi se pretvorio u integral racionalne funkcije koji bi se lako riješio, ali bi malo potrajalo. Moja procjena je da bi taj integral dao za rješenje beskonačno. To znači da bi naša "truba" imala konačan volumen i beskonačnu površinu (to nije nelogično jer su to različite stvari). Još bih napomenuo da se kod svake supstitucije mora raditi promjena granica. Zadnje granice bi bile "korijen iz 2"/2 i 1. U rješenju bi se trebao pojaviti između ostalog i ln|1-u|. Uvrštavanjem jedinice umjesto u dobili bismo ln(0) što u smislu limesa daje rezultat beskonačno. Na tome temeljim svoju procjenu. U svakom slučaju, moraš dobro poznavati integrale da bi mogao riješiti ovaj drugi integral. 26.10.2015
Zona Ozona : Tomo, dobiješ nešto što sliči na trubu beskonačne duljine na kojoj nikako ne bi mogao svirati jer širina otvora piska teži prema nuli. Volumen i površinu plohe dobivaš preko odgovarajućih integrala čija rješenja mogu imati konačnu ili beskonačnu vrijednost (ovisi o području integracije i podintegralnoj funkciji). U ovom slučaju volumen je konačan i iznosi "pi" kubičnih jedinica (to je lagan integral). Za površinu se dobije nešto složeniji integral. Počeo sam ga rješavati, napravio sam jedan trik koji mi je omogućio da napravim supstituciju "x na drugu" = t. Nakon toga sam provjerio kriterije za rješivost (teorem Čebiševa). Treći (najsloženiji) kriterij je bio ispunjen. Po receptu sam trebao uvesti novu supstituciju koja nije jednostavna, ali sam tu stao jer nisam bio siguran koliko bi to još trajalo. Uglavnom, i tu bi se dobilo nekakvo rješenje, i onda bi znali da li je površina konačna ili beskonačna. Ovakav zadatak sigurno neće biti na maturi, jer je ovo fakultetsko gradivo. Formule za volumen i površinu rotacione plohe možeš naći u Bronštajnu (priručnik) ili Demidoviču (zbirka zadataka) ili na ovom linku. Granice integracije u našem slučaju su 1 i plus beskonačno. To su tzv. nepravi integrali (zbog granice beskonačno) i moraš uvesti limes ili barem razmišljati na "limes" način da bi došao do rješenja. 25.10.2015
Tomo : Bok! Što dobijemo kada uzmemo graf funkcije y=1/x na domeni x≥1 i rotiramo ga u tri dimenzije oko x-osi? I kako mu s pomoću integrala možemo odrediti volumen V i površinu A? Ovo je jedno od dva pitanja s pripremnog testa za državnu maturu koje nisam riješio! 25.10.2015
Mario : Hvala Vam, stvarno na lijep način objasnite! 15.10.2015
Zona Ozona : Mario, trebaš 2015 podijeliti s 4, ali na način kako se to radilo u prva četiri razreda osnovne škole, s ostatkom. Isti ostatak ćeš dobiti ako broj kojeg čine zadnje dvije znamenke podijeliš s 4. To možeš uvijek raditi kod ovakvih zadataka. U našem slučaju taj broj je 15 i on pri dijeljenju s 4 daje rezultat 3 i ostatak 3 (3*4+3=15). Ostatak je važan. Mogući ostaci pri dijeljenju s 4 su 0, 1, 2 i 3 (nula ako je broj djeljiv s 4). 'i na nultu' = 1, 'i na prvu' = i, 'i na drugu' = -1, 'i na treću' = -i. U našem slučaju ostatak je 3, pa gledamo 'i na treću'. Dakle 'i na 2015' = 'i na treću' = -i. Npr. 'i na 5872684' = 'i na nultu' = 1 (84 : 4 = 21, ostatak nula). 'i na 102' = 'i na drugu' = -1 (02 = 2, 2 : 4 = 0, ostatak 2). 14.10.2015
Mario : Kako izračunati imaginarno 'i' na 2015? 14.10.2015
Mario : Hvala Vam, puno ste mi pomogli. Lijep pozdrav! 26.09.2015
Zona Ozona : Mario, najbolje je da kreneš od onog što se traži. cos(x-pi/3) = cos(x)cos(pi/3)+sin(x)sin(pi/3). (Koristio sam adicijsku formulu cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y).) Primjeti da su od četiri stvari tri poznate: cos(x)=0.6=3/5, cos(pi/3)=1/2 i sin(pi/3)=(korijen iz 3)/2. Trebaš samo naći sin(x). sin na drugu (x) = 1 - cos na drugu (x) = 1 - (3/5)na drugu = 1 - 9/25 = 16/25. sin(x) = plus ili minus korijen iz 16/25. Predznak se odredi iz kvadranta. Ovdje se radi o četvrtom kvadrantu u kojem je sinus negativan, pa za predznak uzimaš minus. Dakle sin(x) = -4/5. Sad imaš podatak koji je nedostajao. Nakon uvrštavanja u adicijsku i sređivanja dobivaš konačni rezultat (3-4korijena iz 3)/10. Radi bolje preglednosti stavljao sam zagrade i na mjestima na kojima se inače ne pišu. 25.09.2015
Mario : Ako je cos x=0.6 i xe {3pi/2, 2pi}, koliko je cos(x-pi/3)? 25.09.2015
Dino : Hvala Vam svaka cast stranica je odlicna kao i nacin na koji objasnite sve👍 22.09.2015
Zona Ozona : Dino, to je lagan zadatak. Ako tetive povučeš na razne strane obzirom na centar, onda ugao koji zatvaraju te tetive sadrži centar, a ako su tetive s iste strane centra, onda je centar izvan ugla kojeg zatvaraju tetive. Trebaš centar spojiti s krajevima tetiva. Na taj način dobijaš dva jednakokračna trokuta. Centralni uglovi su nasuprot tetiva koje predstavljaju osnovice tih trokuta. Da bi dobili uglove na osnovici, trebamo od 180 oduzeti 120, odnosno 80 i rezultate podijeliti s dva. Dobijaš uglove od 30, odnosno 50 stupnjeva. U slučaju a) ti se uglovi sabiraju, a u slučaju b) od većeg se oduzme manji ugao, tako da dobijaš 80, odnosno 20 stupnjeva. Slika ti sve govori. Ako nešto ne bude jasno, napiši mi pa ćemo to još malo pojasniti. 22.09.2015
Dino : Pozdrav! Iz iste tacke kruznice su povucene 2 tetive:a)na razne strane.b)na istu stranu sa obzirom na centar.Koliki ugao zatvaraju tetive ako centralni uglovi nad njima iznosi 120 i 80 stupnjeva? Ovaj dio pod a i b mi nikao nije jasan ne razumijem kamo da povucem tetive. 20.09.2015
Amle : Hvala punooo 😊 11.09.2015
Zona Ozona : Amle, ovaj omjer znači da prvi luk ima dužinu koja je sastavljena iz dva dijela, drugi luk od tri takva ista dijela i treći luk od četiri dijela. Dakle, imaš ukupno 9 takvih dijelova (2+3+4). Ti dijelovi pokrivaju cijelu kružnicu, tako da svakom dijelu pripada 40 stepeni (360:9). Prvom luku pripada centralni ugao od 2*40=80 stepeni, drugom 3*40=120 stepeni i trećem 4*40=160 stepeni. Ako te centralne uglove označimo sa x, y i z, onda to možemo ovako riješiti: x:y:z=2:3:4. x=2k, y=3k, z=4k. x+y+z=360, 2k+3k+4k=360, 9k=360, k=40. x=2*40=80, y=3*40=120, z=4*40=160. 11.09.2015
Amle : Odredi centralne uglove nad lukovima čiji je omjer dužina 2:3:4. 10.09.2015
Zona Ozona : Tina, ovaj zadatak sigurno ima popratni tekst, pa bih te molio da ga napišeš. (Ovo može biti i jednadžba pravca.) 10.09.2015
Tina : 2x+3y=-5 08.09.2015
Zona Ozona : Tihana, moj odgovor stiže malo kasno, jer neko vrijeme nisam posjećivao stranicu. Najbolja taktika je da pomnožiš ove dvije zagrade (svaki sa svakim), a ovaj prednji 'a' prepišeš. Dakle, a(a-1)(a+2)=a(a2+2a-a-2). Ovo 'a2' je a na drugu (ili a na kvadrat) i dobili smo ga množenjem a sa a (a na prvu puta a na prvu - eksponenti se zbrajaju). U novoj zagradi možemo 2a-a zbrojiti (to se tako kaže jer se zbraja '2a' i '-a'), dakle 2a-a=a. Dobivamo a(a2+a-2). Sad ovaj prednji 'a' pomnožiš sa svakim članom zagrade i dobivaš a3+a2-2a (a na treću + a na drugu -2) ( 'a na treću' zato što je prednji a zapravo a na prvu, a 'a na prvu' puta 'a na drugu' daje 'a na treću'). Kod množenja svaki sa svakim predznak svakog člana zagrade nalazi se ispred njega (ako ništa ne piše onda je predznak plus). Nadam se da ti je jasno. Ovo nije jedini način. Mogla si prvo prednji 'a' pomnožiti npr. s prvom zagradom (dobila bi 'a na drugu' - a). To bi izgledalo ovako: a(a-1)(a+2)=(a2-a)(a+2). Ovo je kompliciraniji način jer je ove dvije zagrade malo teže pomnožiti nego (a-1)(a+2). 25.08.2015
Tihana : Što je rezultat sređivanja izraza a(a-1) (a+2)? 20.08.2015
Zona Ozona : Marko, za to postoji jednostavna formula. Koordinate točke K su x1 i y1, a od L su x2 i y2. Dakle x1=-2, y1=3, x2=5, y2=1. Formula je d(K,L)= korijen od (x2-x1)na drugu + (y2-y1)na drugu (ovdje je kraj korijena). Kad se uvrste brojevi, dobije se d(K,L)= korijen iz (5-(-2))na drugu + (1-3)na drugu (kraj korijena). Prva zagrada postaje (5+2)na drugu = 7na drugu = 7*7=49. Druga zagrada postaje (-2)na drugu = (-2)*(-2) = 4. Dakle, pod korijenom imaš 49+4, odnosno konačno rješenje je korijen iz 53 (zaokruženo na dvije decimale 7,28). Isto rješenje bi dobio da si uzeo koordinate od L za x1, y1 a od K za x2, y2 (poredak nije bitan). Kad pišem x1, ova jedinica je ona sitna, napisana malo ispod x. 27.05.2015
Marko Fistrovic : Kolika je udaljenost točaka K (-2, 3) i L (5, 1) u koordinatnome sustavu? 27.05.2015
Zona Ozona : Mateja, zamisli da djevojke i mladiće stavljamo u nekakve "pakete". Jedan paket bi išao na mladiće, a tri na djevojke (jer ih je tri puta više). Ukupno imaš četiri paketa. Ako 216 podijeliš sa 4 dobiješ da su u jednom paketu 54 maturanta. Djevojaka je 3*54=162, a mladića 1*54=54. Od broja djevojaka oduzmeš broj mladića, 162-54=108 i to je rezultat. Ovo je bilo logički. Matematički, to bi išlo ovako: M=x D=3x M+D=216, dakle x+3x=216, 4x=216, x=54 M=54, D=3*54=162, D-M=162-54=108. (Obzirom da djevojaka ima dva paketa ili 2x više od mladića, najbrži put do rješenja bi bio da 2 pomnožiš sa 54, što daje 108 - dakle bez računanja broja djevojaka i mladića.) 17.05.2015
Mateja : Ukupni broj maturanata u jednoj školi je 216. Djevojaka je trostruko više nego mladića. Koliko je više djevojaka nego mladića među maturantima te škole? 17.05.2015
Zona Ozona : Joško, to ti je parcijalna integracija. Bilo bi najbolje da prvo napraviš supstituciju -3x=t, x=-1/3 t, dx=-1/3 dt. Kad uvrstiš i središ, dobiješ nakon stavljanja 1/3 ispred integrala: 1/3 integral t puta 3 na t puta dt. Izdvojiš taj integral posebno bez jedne trećine i riješiš ga metodom parcijalne integracije. u=t, dv=3 na t dt, du=dt, v=1/ln3 puta 3 na t. Primjenom formule za parcijalnu integraciju (uv - integral od v du) dobivaš 1/ln3 puta t puta 3 na t - 1/ln3 integral od 3 na t puta dt. Integral je tablični (rješenje isto kao v). Zamijeni t sa -3x i uzmi u obzir onu 1/3 ispred integrala koju nismo koristili kod parcijalne integracije. Nakon izlučivanja -1/ln3 puta 3 na -3x dobiješ konačno rješenje 3 na -3x kroz ln3 puta (x + 1/(3ln3)) + C. Ako ti nešto ne bude jasno pitaj. 15.05.2015
josko : integral od 3x puta 3 na -3x puta dx 15.05.2015